Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Интегралы _ Помогите с неопределенными интегралами
Автор: Yano4k@ 5.4.2009, 14:52
Помогите пожулуйста! Хотя бы подскажите!
1) int [x^2*sin3xdx]
2) int [x^2 dx/cos^2(x^3)]
3) int [sin2x dx/(cos^2(x) + 3)]
4) int [x*ln^2(x) dx]
Автор: Dimka 5.4.2009, 15:21
Цитата(Yano4k@ @ 5.4.2009, 18:52) 
Помогите пожулуйста! Хотя бы подскажите!
1) int [x^2*sin3xdx]
2) int [x^2 dx/cos^2(x^3)]
3) int [sin2x dx/(cos^2(x) + 3)]
4) int [x*ln^2(x) dx]
1. Два раза по частям u=x^2
2. x^3 под знак дифференциала
3. Представить sin2x=2sinx cosx, далее cos x под знак дифференциала
4 По частям два раза. Первый раз u=[ln(x)]^2, второй раз u=[ln(x)]
Автор: tig81 5.4.2009, 15:49
http://www.prepody.ru/ipb.html?act=boardrules
http://www.reshebnik.ru/solutions/4/
Появятся КОНКРЕТНЫЕ вопросы, тема будет открыта.
Автор: Yano4k@ 6.4.2009, 8:21
1) int [sinx dx/(1-cosx)] = |вношу sinx под знак дифференциала| = int [d(cosx)/(1-cosx)] = ln(1-cosx), так?
2) int [(2-x)*sinxdx] = |интегрирую по частям: u=2-x; dv=sinxdx| = (2-cosx)*(-cosx) - int [(2x-(x^2)/2)*(-cosx)dx], и дальше не знаю как... еще раз интегрировать по частям?
3) int [sin2x*sqrt(2-cos^2(x))dx], интегрировать по частям че-то не получается...
4) int [x*arcsin(x)dx] = |u=arcsinx; dv = xdx| = (x^2/2)*arcsinx - int [x^2/(2*sqrt(1-x^2))dx], так?
заранее спасибо
Автор: Тролль 6.4.2009, 10:05
Цитата(Yano4k@ @ 6.4.2009, 12:21)
1) int [sinx dx/(1-cosx)] = |вношу sinx под знак дифференциала| = int [d(cosx)/(1-cosx)] = ln(1-cosx), так?
2) int [(2-x)*sinxdx] = |интегрирую по частям: u=2-x; dv=sinxdx| = (2-cosx)*(-cosx) - int [(2x-(x^2)/2)*(-cosx)dx], и дальше не знаю как... еще раз интегрировать по частям?
3) int [sin2x*sqrt(2-cos^2(x))dx], интегрировать по частям че-то не получается...
4) int [x*arcsin(x)dx] = |u=arcsinx; dv = xdx| = (x^2/2)*arcsinx - int [x^2/(2*sqrt(1-x^2))dx], так?
заранее спасибо
1) int sin x dx/(1 - cos x) = int d(-cos x)/(1 - cos x) = int d(1 - cos x)/(1 - cos x) = ln |1 - cos x| + C
2) int (2 - x) * sin x dx = int (2 - x) d(-cos x) = (x - 2) * cos x + int cos x d(2 - x) =
= (x - 2) * cos x - int cos x dx = (x - 2) * cos x - sin x + C
3) sin 2x вносим под дифференциал, а cos^2 x = (1 + cos 2x)/2
4) так
Автор: Yano4k@ 6.4.2009, 11:19
Цитата(Тролль @ 6.4.2009, 16:05)
1) int sin x dx/(1 - cos x) = int d(-cos x)/(1 - cos x) = int d(1 - cos x)/(1 - cos x) = ln |1 - cos x| + C
2) int (2 - x) * sin x dx = int (2 - x) d(-cos x) = (x - 2) * cos x + int cos x d(2 - x) =
= (x - 2) * cos x - int cos x dx = (x - 2) * cos x - sin x + C
3) sin 2x вносим под дифференциал, а cos^2 x = (1 + cos 2x)/2
4) так
1) Здесь забыла, что производная sinx = -cosx
2) Здесь я не совсем понимаю решения... Сначала Вы вносите sinx под знак дифференциала, а дальше как так получилось? (x - 2) * cos x + int cos x d(2 - x) это интегрирование по частям? Потом уже (2-х) под зак дифференциала?
3) sqrt((3-cos2x)^3)/3 такой ответ?
стыдно
Автор: Тролль 6.4.2009, 12:27
Цитата(Yano4k@ @ 6.4.2009, 15:19)
1) Здесь забыла, что производная sinx = -cosx
2) Здесь я не совсем понимаю решения... Сначала Вы вносите sinx под знак дифференциала, а дальше как так получилось? (x - 2) * cos x + int cos x d(2 - x) это интегрирование по частям? Потом уже (2-х) под зак дифференциала?
3) sqrt((3-cos2x)^3)/3 такой ответ?
стыдно
2) int (2 - x) d(-cos x) = | u = 2 - x; v = -cos x | = (2 - x) * (-cos x) + int cos x d(2 - x)
Да, это интегрирование по частям.
3) int sin 2x * (2 - cos^2 x)^(1/2) dx = int (2 - cos^2 x)^(1/2) d(-1/2 * cos 2x) =
= -1/2 * int (2 - (1 + cos 2x)/2)^(1/2) d(cos 2x) =
= -1/2 * int ((3 - cos 2x)/2)^(1/2) d(cos 2x) = 1/2^(3/2) * int (3 - cos 2x)^(1/2) d(-cos 2x) =
= 1/2^(3/2) * int (3 - cos 2x)^(1/2) d(3 - cos 2x) =
= 1/2^(3/2) * 2/3 * (3 - cos 2x)^(3/2) + C =
= 1/(3 * 2^(1/2)) * (3 - cos 2x) * (3 - cos 2x)^(1/2) + C
Кажется так.
Автор: Yano4k@ 6.4.2009, 16:30
Цитата(Тролль @ 6.4.2009, 18:27)
2) int (2 - x) d(-cos x) = | u = 2 - x; v = -cos x | = (2 - x) * (-cos x) + int cos x d(2 - x)
Да, это интегрирование по частям.
3) int sin 2x * (2 - cos^2 x)^(1/2) dx = int (2 - cos^2 x)^(1/2) d(-1/2 * cos 2x) =
= -1/2 * int (2 - (1 + cos 2x)/2)^(1/2) d(cos 2x) =
= -1/2 * int ((3 - cos 2x)/2)^(1/2) d(cos 2x) = 1/2^(3/2) * int (3 - cos 2x)^(1/2) d(-cos 2x) =
= 1/2^(3/2) * int (3 - cos 2x)^(1/2) d(3 - cos 2x) =
= 1/2^(3/2) * 2/3 * (3 - cos 2x)^(3/2) + C =
= 1/(3 * 2^(1/2)) * (3 - cos 2x) * (3 - cos 2x)^(1/2) + C
Кажется так.
Спасибо! Спасибо! У меня получились 2) и 3)
теперь с 4) мучаюсь: int [x*arcsin(x)dx] = |u=arcsinx; dv = xdx| = (x^2/2)*arcsinx - int [x^2/(2*sqrt(1-x^2))dx], а теперь как? дальше опять интегрировать по частям? упростить что-то не получается...
Автор: tig81 6.4.2009, 16:55
Цитата(Yano4k@ @ 6.4.2009, 19:30)
теперь с 4) мучаюсь: int [x*arcsin(x)dx] = |u=arcsinx; dv = xdx| = (x^2/2)*arcsinx - int [x^2/(2*sqrt(1-x^2))dx], а теперь как? дальше опять интегрировать по частям? упростить что-то не получается...
Рассмотирм интеграл:
int(x^2/(2*sqrt(1-x^2))dx)
Запишем его следующим образом:
(1/2)int[{(1-x^2)+1}/sqrt(1-x^2)dx]. Затем почленно поделите.
Либо сделайте замену x=sint.
Автор: Yano4k@ 6.4.2009, 17:32
Цитата(tig81 @ 6.4.2009, 22:55)
Рассмотирм интеграл:
int(x^2/(2*sqrt(1-x^2))dx)
Запишем его следующим образом:
(1/2)int[{(1-x^2)+1}/sqrt(1-x^2)dx]. Затем почленно поделите.
Либо сделайте замену x=sint.
Я делала замену x=sint. В конце получился ответ: (x^2/2)*arcsinx - 1/2arcsinx
Автор: tig81 6.4.2009, 18:21
Цитата(Yano4k@ @ 6.4.2009, 20:32)
Я делала замену x=sint. В конце получился ответ: (x^2/2)*arcsinx - 1/2arcsinx
Распишите, что получили после замены и как считали? Т.к. что-то не то.
Автор: Yano4k@ 6.4.2009, 19:31
Цитата(tig81 @ 7.4.2009, 0:21)
Распишите, что получили после замены и как считали? Т.к. что-то не то.
int [x*arcsin(x)dx] = |u=arcsinx; dv = xdx| = (x^2/2)*arcsinx - int [x^2/(2*sqrt(1-x^2))dx] = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[{(1-x^2)+1}/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint| = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[(1-sin^2(t)+1)/sqrt(1-sin^2(t)) dt = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[(cos^2(t)+1)/sqrt(1-sin^2(t)) dt = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[d(1-sin^2(t)/sqrt(1-sin^2(t)) = (x^2/2)*arcsinx - 1/2arcsin(sint) = (x^2/2)*arcsinx - 1/2arcsinx
вот так, но я не уверена...
Автор: tig81 6.4.2009, 19:36
uv правильно, поэтоиу разбираемся с интегралом
Цитата(Yano4k@ @ 6.4.2009, 22:31)
... - (1/2)int[{(1-x^2)+1}/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint|
Если решили через замену, то числитель преобразовывать не надо.
Т.е. рассматриваем интеграл (-(1/2) для экономии места не пишу):
int[x^2/sqrt(1-x^2)dx]. Теперь делайте замену x = sint.
Автор: Yano4k@ 7.4.2009, 8:09
Цитата(tig81 @ 7.4.2009, 1:36)
uv правильно, поэтоиу разбираемся с интегралом
Если решили через замену, то числитель преобразовывать не надо.
Т.е. рассматриваем интеграл (-(1/2) для экономии места не пишу):
int[x^2/sqrt(1-x^2)dx]. Теперь делайте замену x = sint.
int [x*arcsin(x)dx] = |u=arcsinx; dv = xdx| = (x^2/2)*arcsinx - int [x^2/(2*sqrt(1-x^2))dx] = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[x^2/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint| = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[sin^2(t)/sqrt(1-sin^2(t)dt] = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[sin^2(t)/sqrt(cos^2(t))dt] = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[sin^2(t)/cos(t)dt]... а дальше как? int[sin^2(t)/cos(t)dt] = int[sint*tgt dt]?
Автор: tig81 7.4.2009, 17:32
Цитата(Yano4k@ @ 7.4.2009, 11:09)
int [x*arcsin(x)dx] = |u=arcsinx; dv = xdx| = (x^2/2)*arcsinx - int [x^2/(2*sqrt(1-x^2))dx] = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[x^2/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint| = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[sin^2(t)/sqrt(1-sin^2(t)dt] = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[sin^2(t)/sqrt(cos^2(t))dt] = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[sin^2(t)/cos(t)dt]... а дальше как? int[sin^2(t)/cos(t)dt] = int[sint*tgt dt]?
Итак, рассмотри сам интеграл:
...-(1/2)int[x^2/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint|=...
dx чему равен? Разве просто dt?
Автор: Dimka 7.4.2009, 17:46
Цитата(Yano4k@ @ 7.4.2009, 12:09)
int [x*arcsin(x)dx] = |u=arcsinx; dv = xdx| = (x^2/2)*arcsinx - int [x^2/(2*sqrt(1-x^2))dx] = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[x^2/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint| = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[sin^2(t)/sqrt(1-sin^2(t)dt] = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[sin^2(t)/sqrt(cos^2(t))dt] = (x^2/2)*arcsinx - (1/2)int[sin^2(t)/cos(t)dt]... а дальше как? int[sin^2(t)/cos(t)dt] = int[sint*tgt dt]?
Куда-то Вас понесло.
Попробуйте
1. Подстановка arcsin(x)=t
2 Далее получите формулу в которой нужно представить sintcost=0,5sin2t
3 Далее по частям u=t, dv=0.5sin2t dt
может так будет доходчивее?
Автор: Yano4k@ 7.4.2009, 18:28
Цитата(Dimka @ 7.4.2009, 23:46)
Куда-то Вас понесло.
Попробуйте
1. Подстановка arcsin(x)=t
2 Далее получите формулу в которой нужно представить sintcost=0,5sin2t
3 Далее по частям u=t, dv=0.5sin2t dt
может так будет доходчивее?
Я не понимаю, что будет после подстановки arcsin(x)=t и что это даст... можно поподробнее?
Цитата(tig81 @ 7.4.2009, 23:32)
Итак, рассмотри сам интеграл:
...-(1/2)int[x^2/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint|=...
dx чему равен? Разве просто dt?
...-(1/2)int[x^2/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint|= -(1/2)int[sin^2(t)/sqrt(1-sin^2(t)d(cost)] = -(1/2)int[sin^2(t)/cost d(cost) так? дальше не знаю...
Автор: tig81 7.4.2009, 19:10
Цитата(Yano4k@ @ 7.4.2009, 21:28)
Я не понимаю, что будет после подстановки arcsin(x)=t и что это даст... можно поподробнее?
вы сделайте замену, увидите.
Цитата
...-(1/2)int[x^2/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint|= -(1/2)int[sin^2(t)/sqrt(1-sin^2(t)d(cost)] = -(1/2)int[sin^2(t)/cost d(cost) так? дальше не знаю...
d(cost) откуда взялось?
Хм...
x = sint
dx = d(sint)
dx=cost dt
Автор: Yano4k@ 8.4.2009, 9:01
Цитата(tig81 @ 8.4.2009, 1:10)
вы сделайте замену, увидите.
d(cost) откуда взялось?
Хм...
x = sint
dx = d(sint)
dx=cost dt
...-(1/2)int[x^2/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint|= -(1/2)int[sin^2(t)*cost/sqrt(1-sin^2(t)dt] = -(1/2)int[sin^2(t)dt] = -1/2(1/2(t-sint*cost)) = -1/2(t/2-1/2sint*cost) = -1/4t+1/8sin2t, так?
Автор: tig81 8.4.2009, 11:42
Цитата(Yano4k@ @ 8.4.2009, 12:01)
...-(1/2)int[x^2/sqrt(1-x^2)dx] = |замена x = sint|= -(1/2)int[sin^2(t)*cost/sqrt(1-sin^2(t)dt] = -(1/2)int[sin^2(t)dt] = -1/2(1/2(t-sint*cost)) = -1/2(t/2-1/2sint*cost) = -1/4t+1/8sin2t, так?
Не поняла некоторые ваши преобразования. Там где выделено красным... Ответ почти такой получилось, только почему-то возле синуса знак "-".
Автор: Yano4k@ 8.4.2009, 12:31
Цитата(tig81 @ 8.4.2009, 17:42)
Не поняла некоторые ваши преобразования. Там где выделено красным... Ответ почти такой получилось, только почему-то возле синуса знак "-".
-(1/2)int[sin^2(t)dt] = -1/2(1/2(t-sint*cost)) вот это я взяла из формулы int[sin^2(x)dx] = 1/2(x-sinx*cosx), поэтому и знак - там стоит, а что не так?
Автор: tig81 8.4.2009, 12:44
Цитата(Yano4k@ @ 8.4.2009, 15:31)
-(1/2)int[sin^2(t)dt] = -1/2(1/2(t-sint*cost)) вот это я взяла из формулы int[sin^2(x)dx] = 1/2(x-sinx*cosx), поэтому и знак - там стоит, а что не так?
Все так, просто пропустила, что вы уже без интеграла написали.
Автор: Yano4k@ 8.4.2009, 14:49
(1/2)int[sin^2(t)dt] = -1/2(1/2(t-sint*cost))= -1/2(t/2-1/2sint*cost) = -1/4t+1/8sin2t, а теперь делаю подстановку t=sinx. Получается -1/4sinx+1/8sin(2sinx), так? так оставлять?
Автор: tig81 8.4.2009, 17:03
Цитата(Yano4k@ @ 8.4.2009, 17:49)
(1/2)int[sin^2(t)dt] = -1/2(1/2(t-sint*cost))= -1/2(t/2-1/2sint*cost) = -1/4t+1/8sin2t, а теперь делаю подстановку t=sinx.
А почему именно такую постановку? Если x=sint, то t=sinx?
Автор: Yano4k@ 8.4.2009, 18:47
Цитата
А почему именно такую постановку? Если x=sint, то t=sinx?
Ой, блин, извините! Если x=sint, то t = arcsinx! и получается -1/4t+1/8sin2t = -1/4arcsinx+1/8sin(2arcsinx). только вот не помню sin(arcsinx) = x?
Автор: tig81 8.4.2009, 19:12
Цитата(Yano4k@ @ 8.4.2009, 21:47)
Ой, блин, извините!
да ладно, блин!
Цитата
Если x=sint, то t = arcsinx! и получается -1/4t+1/8sin2t = -1/4arcsinx+1/8sin(2arcsinx). только вот не помню sin(arcsinx) = x?
да, -1<=x<=1.
arcsinx=arccossqrt(1-x^2)
Автор: Yano4k@ 9.4.2009, 7:11
Цитата(tig81 @ 9.4.2009, 1:12)
да ладно, блин!
да, -1<=x<=1.
arcsinx=arccossqrt(1-x^2)
Мне кажется, я нашла более легкое решение, даже слишком легкое! Только не знаю, правильно? int[xarcsinx dx] = int[xarcsin(x/a) dx] = ((2x^2-1)/4)*arcsinx+(x/4)*sqrt(1+x^2), это из формулы int[xarcsin(x/a) dx] = ((2x^2-a^2)/4)*arcsin(x/a)+(x/4)*sqrt(a^2+x^2)
Автор: tig81 9.4.2009, 13:17
Цитата(Yano4k@ @ 9.4.2009, 10:11)
Мне кажется, я нашла более легкое решение, даже слишком легкое! Только не знаю, правильно? int[xarcsinx dx] = int[xarcsin(x/a) dx] = ((2x^2-1)/4)*arcsinx+(x/4)*sqrt(1+x^2), это из формулы int[xarcsin(x/a) dx] = ((2x^2-a^2)/4)*arcsin(x/a)+(x/4)*sqrt(a^2+x^2)
А формулу где взяли?
Автор: Yano4k@ 9.4.2009, 13:32
Цитата(tig81 @ 9.4.2009, 19:17)
А формулу где взяли?
http://www.pm298.ru/mtab_integral.php здесь много всяких формул! так правильно?
Автор: tig81 9.4.2009, 13:35
Цитата(Yano4k@ @ 9.4.2009, 16:32)
так правильно?
Ну как сказать. Я так понимаю, вам надо было как бы получить эту формулу
Автор: Yano4k@ 9.4.2009, 14:51
Цитата(tig81 @ 9.4.2009, 19:35)
Ну как сказать. Я так понимаю, вам надо было как бы получить эту формулу
А например на экзамене применить эту формулу можно? или заставят подробно?
Автор: tig81 9.4.2009, 17:35
Цитата(Yano4k@ @ 9.4.2009, 17:51)
А например на экзамене применить эту формулу можно? или заставят подробно?
Все завист от задания и преподавателя. Но на экзамене ее вы сможете применить лишь в том случае, когда будете знать наизусть.
П.С. Но как она выводится вы должны представлять.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)