Версия для печати темы

Автор: Lion 10.5.2007, 1:57

Добрый день! Вот встретила задачку, а она отказывается решаться.

ABCD - ромб с острым углом BAD. Окружность, проходящая через вершины A, B и D пересекает сторону ВС в точке М и сторону CD в точке N. Известно, что площадь пятиугольника ABMND равна 16, CosMAN = 0.8. Найти площадь ромба.

Что пробовала: Обозначить радиус окружности через R. Нашла MN=1.2R. AM=AN=6*R/10^(1/2).
S (АМN)=1.08*R^2.
Ну вот, наверное, и всё... А дальше что-то движения нет...
Любая помощь приветствуется

P.S. Думаю, что свести надо к нахождению площади трапеции BMND. Останется только площадь треугольника ABD умножить на 2. Но могу и ошибаться...

Автор: Lion 10.5.2007, 17:51

Задача со вступительных экзаменов в нефтегазовый им.Губкина...

Кстати, забыла, есть ответ: S ромба=20.

Автор: A_nn 10.5.2007, 17:55

А я как раз решила посмотреть - решили или нет...
Интересная задачка..

Автор: Lion 10.5.2007, 18:11

Была еще одна идея (правда не у меня),
разбить пятиугольник на 5 равнобедренных треугольников:

АОВ, ВОМ, МОN, NOD, DOA.

S пятиугольника=2S (АОВ) +2S (ВОМ) +S (МОN).
Но и это идея подвисла...

Автор: venja 10.5.2007, 18:17

Может поможет.
Можно найти угол А ромба.
С одной стороны он равен половине дуги BD.
С другой стороны он равен углу С ромба.
А этот угол C, как угол между двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен (через дуги):
(1/2)*(BAD-MN)=(1/2)*((360-BD)-MN)=(1/2)*(360-BD-MN).
Поэтому
BD=360-BD-MN
BD=180-(1/2)*MN
Поэтому
угол А=90 град - (1/2)угла MAN

Проверьте.

Автор: A_nn 10.5.2007, 19:11

Да, у меня тоже так другим способом получилось.
И уже даже видно, что она решается, но очень уж как-то муторно. Наверное, ход какой-то есть.

Автор: Lion 10.5.2007, 19:50

Спасибо всем, и каждому персонально.
Буду разбираться...

Автор: A_nn 10.5.2007, 19:54

Да, получается 20!!!

Далее белым шрифтом (как меня научили на старом форуме) - вдруг кто-то любит решать без подсказок.
Долго смущал корень из 0,9, но в конце концов сократился.
Решала через радиусы. Площадь пятиугольника= сумме площадей треугольничков со сторонами-радиусами, углы между которыми можно посчитать. Отсюда нашла радиус (вполне дурацкий). А потом таким же манером (т.е. через радиусы) - площадь половина ромба.
Но все же надеюсь на менее трудоемкий способ. Может, кто найдет...

Автор: Lion 11.5.2007, 2:26

И у меня получилось, правда, тем же способом, что и у Вас, А_nn.
Еще раз, спасибо.

P.S. До встречи в НН, "обмозгуем"...