Образовательный студенческий форум [Русская версия Invision Power Board]

Автор: Vladi 28.3.2009, 20:33

Доброе всем.
Дана задача:
Найти пределы, пользуясь правилом Лопиталя.

Lim(x->o0) (5-е^7x)/(x^2 +2x-6)

Подскажите, пожалуйста, с чего начать решать данную задачу.

Автор: граф Монте-Кристо 28.3.2009, 20:44

С осознания того,в чём же всё-таки состоит правило Лопиталя.

Автор: Vladi 28.3.2009, 20:51

Цитата(граф Монте-Кристо @ 28.3.2009, 23:44)

С осознания того,в чём же всё-таки состоит правило Лопиталя.

Lim(x->o0) (5-e^7x)'/((x-(-1-корень из 7))(x-(корень из 7-1)))'.

я так понял, что нужно дифференцировать? Но у меня получается явно не то, что нужно.

Автор: tig81 28.3.2009, 20:54

Цитата(Vladi @ 28.3.2009, 22:51)

Lim(x->o0) (5-e^7x)'/((x-(-1-корень из 7))(x-(корень из 7-1)))'.
я так понял, что нужно дифференцировать? Но у меня получается явно не то, что нужно.

А как корни в знаменателе получили?

Автор: Vladi 28.3.2009, 21:00

Цитата(tig81 @ 28.3.2009, 23:54)

А как корни в знамиенателе получили?

=) разложил на множители, решив квадратное уравнение

x^2 +2x-6

D=28

x1= -1-корень7

x2= корень7 -1

Автор: tig81 28.3.2009, 21:02

Цитата(Vladi @ 28.3.2009, 23:00)

=) разложил на множители, решив квадратное уравнение

зачем?
Вам надо просто продифференцировать x^2 +2x-6.

Автор: Vladi 28.3.2009, 21:07

Цитата(tig81 @ 29.3.2009, 0:02)

зачем.
Вам надо просто продифференцировать x^2 +2x-6.

тоесть взять в знаменателе x^2 +2x-6 в скобки 2x-6 и продифференцировать (5-e^7x)'/(x^2 +(2x-6))'

Автор: tig81 28.3.2009, 21:12

Цитата(Vladi @ 28.3.2009, 23:07)

тоесть взять в знаменателе x^2 +2x-6 в скобки 2x-6 и продифференцировать (5-e^7x)'/(x^2 +(2x-6))'

Ну если вам со скобками будет проще, то возьмите. А так да, отдельно дифференцируйте числитель, отдельно знаменатель.

Автор: Vladi 28.3.2009, 21:14

Lim(x->0o) (5-e^7x)'/(x^2 +(2x-6))'= (0-e^7x)/(x^2)'+(2x-6)'=-e^7x/2x+((2x)+(-6))= -e^7x/2x+2 правильно?
Это и есть ответ?

Автор: граф Монте-Кристо 28.3.2009, 21:25

Нет,это ещё не ответ.

Автор: Vladi 28.3.2009, 21:28

Цитата(граф Монте-Кристо @ 29.3.2009, 0:25)

Нет,это ещё не ответ.

нужно ещё раз дифференцировать?

Автор: граф Монте-Кристо 28.3.2009, 21:29

Да.

Автор: Vladi 28.3.2009, 21:34

Цитата(граф Монте-Кристо @ 29.3.2009, 0:29)

Да.

тогда получается следующее (-e^7x)'/(2x+2)'= -e^7x/2 это ответ?
честно говоря, я не очень понимаю это правило (Лопиталя), в чём оно заключается, и до чего нужно довести функцию, незнаю.

Автор: граф Монте-Кристо 28.3.2009, 21:44

Если у Вас есть неопределённость вида 0/0 или оо/оо (бесконечность/бесконечность),то,если существует предел отношения производных числителя и знаменателя,он равен пределу отношения исходных функций.Соответственно,это правило можно применять несколько раз подряд,как,например,в Вашем случае.А останавливаться следует,когда исчезает неопределённость.

Автор: Vladi 28.3.2009, 21:50

Цитата(граф Монте-Кристо @ 29.3.2009, 0:44)

Если у Вас есть неопределённость вида 0/0 или оо/оо (бесконечность/бесконечность),то,если существует предел отношения производных числителя и знаменателя,он равен пределу отношения исходных функций.Соответственно,это правило можно применять несколько раз подряд,как,например,в Вашем случае.А останавливаться следует,когда исчезает неопределённость.

значит в моём случае нужно дифференцировать до получения 0 в знаменателе, -e^7x/0 ?

Автор: граф Монте-Кристо 28.3.2009, 22:01

Нет,в Вашем случае нужно дифференцировать до того момента,пока в знаменателе останется ненулевая константа.А вообще - до того момента,пока предел можно будет обчными методами вычислить.

Автор: Vladi 29.3.2009, 12:28

Цитата(граф Монте-Кристо @ 29.3.2009, 2:01)

Нет,в Вашем случае нужно дифференцировать до того момента,пока в знаменателе останется ненулевая константа.А вообще - до того момента,пока предел можно будет обчными методами вычислить.

у меня получилось вот так:

Lim(x->0o) -e^7x /2= (-e^7x -1+1) /2= -1(e^7x -1+1)/2~ -7x-1 /2
Посмотрите, пожалуйста, верно я решил.

Автор: Dimka 29.3.2009, 12:32

нет.

Автор: Vladi 29.3.2009, 13:02

Цитата(Dimka @ 29.3.2009, 16:32)

нет.

Это правильно, тоесть до

Lim(x->0o) -e^7x /2

Автор: Dimka 29.3.2009, 13:33

Числитель не правильный. Вторая производня от 5-e^(7x) чему равна?

Автор: Vladi 29.3.2009, 13:43

Цитата(Dimka @ 29.3.2009, 17:33)

Числитель не правильный. Вторая производня от 5-e^(7x) чему равна?

(5-e^(7x))'=(5)'+(-e^(7x))'=0-e^(7x)=-e^(7x)

Автор: граф Монте-Кристо 29.3.2009, 13:46

(e^(f(x)))' = e^(f(x)) * f'(x)

Автор: Dimka 29.3.2009, 13:48

Ну вот. Вы еще и производные не умеете находить. Формулу для дифференцирования сложной функции посмотрите.

Автор: Vladi 29.3.2009, 14:05

Цитата(Dimka @ 29.3.2009, 17:48)

Ну вот. Вы еще и производные не умеете находить. Формулу для дифференцирования сложной функции посмотрите.

(-e^(7x))'=-e^(7x)*(7x)'= -e^(7x)*7 ?

Автор: граф Монте-Кристо 29.3.2009, 14:08

Да.

Автор: Dimka 29.3.2009, 14:11

Теперь вторую производную по аналогии

Автор: Vladi 29.3.2009, 14:27

Цитата(Dimka @ 29.3.2009, 18:11)

Теперь вторую производную по аналогии

тоесть (-e^(7x*7))'=(-e^(7x*7)(7x*7)')=-e^(7x*7)(0+7)=-e^ ? что то не то.

Автор: tig81 29.3.2009, 16:27

Цитата(Vladi @ 29.3.2009, 16:27)

тоесть (-e^(7x*7))'=(-e^(7x*7)(7x*7)')=-e^(7x*7)(0+7)=-e^ ? что то не то.

Судя по всему, производную надо брать от функции (-e^(7x)*7)'=-7*(e^(7x))'

Автор: Vladi 29.3.2009, 16:47

Цитата(tig81 @ 29.3.2009, 20:27)

Судя по всему, производную надо брать от функции (-e^(7x)*7)'=-7*(e^(7x))'

ведь так до бесконечности высчитывать придёться.

или до тех пор, чтобы сократился знаменатель? тоесть -14(e^(7x))/2=-7*(e^(7x))

Автор: tig81 29.3.2009, 17:00

Цитата(Vladi @ 29.3.2009, 18:47)

или до тех пор, чтобы сократился знаменатель? тоесть -14(e^(7x))/2=-7*(e^(7x))

С чем сократится? До тех пор, пока не исчезнет неопределенность.

Автор: Vladi 29.3.2009, 17:07

Цитата(tig81 @ 29.3.2009, 21:00)