Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Дифференциальные уравнения _ x^2*y'+y^2-2xy=0

Автор: Grom 18.3.2009, 20:53


Проверьте пожалуйста правильно ли я решил?

x^2*y'+y^2-2xy=0 /x^2
y'+y^2/x^2-2*y/x=0
Замена y/x=t(x)=>y=xt(x) отсюда y'=t(x)+xt"(x)
t+xt'+t^2-2t=0
x*dt/dx+t^2-t=0
int dt/(t^2-t)=int dx/x
int dt/t(t-1)=lnx+lnC - правую часть интегрировал как рациональную дробь
-ln[t]+ln[t-1]=ln*Cx -дальше что-то неправильно?


Автор: tig81 18.3.2009, 21:37

Цитата(Grom @ 18.3.2009, 22:53) *

x^2*y'+y^2-2xy=0 /x^2
y'+y^2/x^2-2*y/x=0
Замена y/x=t(x)=>y=xt(x) отсюда y'=t(x)+xt"(x)

Одного штриха достаточно
Цитата
t+xt'+t^2-2t=0
x*dt/dx+t^2-t=0
int dt/(t^2-t)=int dx/x

x*dt/dx=-(t^2-2t)
dt/(t^2-t)=-dx/x
int dt/t(t-1)=lnx+lnC -
Цитата
правую часть интегрировал как рациональную дробь

т.е. левую
Цитата
-ln[t]+ln[t-1]=ln*Cx -дальше что-то неправильно?

А где дальше? Может и неправильно. Используйте то, что lna-lnb=ln(a/b ) и делайте обратную замену

Автор: Grom 19.3.2009, 6:49

Если ln(t-1)-ln(t)=lnCx получается ln(t-1)/t=lnCx тогда t сокрашается!Неправильно тогда! Может я не правильно проитегрировал int dt/(t^2-t) как рациональную дробь?


Автор: граф Монте-Кристо 19.3.2009, 10:52

Цитата
Если ln(t-1)-ln(t)=lnCx получается ln(t-1)/t=lnCx тогда t сокрашается!

В каком месте оно сокращается?

Автор: Grom 19.3.2009, 11:00

Получается (t-1)/t=Cx, так? Подскажите пожалуйста как дальше что-то не пойму!

Автор: граф Монте-Кристо 19.3.2009, 11:06

Дальше выражаете t и подставляете в y=t*x.

Автор: Grom 19.3.2009, 11:19

У меня t получилось t=Cx-1!Правильно?

Автор: Stensen 19.3.2009, 11:33

t=1/(1-Cx) вроде.

Автор: Grom 19.3.2009, 11:43

Тогда у=x*1/1-Cx так?

Автор: Stensen 19.3.2009, 11:45

Вроде так.

Автор: Grom 19.3.2009, 11:52

Спасибо за помошь!

Автор: Grom 19.3.2009, 12:35

Значит у=x/1-C*x=>y=x???

Автор: граф Монте-Кристо 19.3.2009, 13:27

Цитата
Значит у=x/1-C*x=>y=x???

Как это так Вы получили?

Автор: Grom 19.3.2009, 13:52

А как будет??? у=x/1-C*x=>y=x/1-x(если С=1)y=x-1? Или не так? Хочу подставить в начальное уравнение и проверить правильность решения!

Автор: граф Монте-Кристо 19.3.2009, 16:19

Ну если хотите проверить,дифференцируйте и подставляйте в исходное уравнение,считая,что С - какое-то постоянное число.

Автор: tig81 19.3.2009, 19:18

unsure.gif

Автор: Grom 20.3.2009, 6:49

Если беру С=1 и подставляю в y=x/1-C*x и подставляю в исходное уравнение не сходится! sad.gif

Автор: Тролль 20.3.2009, 8:02

Цитата(Grom @ 18.3.2009, 23:53) *

Проверьте пожалуйста правильно ли я решил?

x^2*y'+y^2-2xy=0 /x^2
y'+y^2/x^2-2*y/x=0
Замена y/x=t(x)=>y=xt(x) отсюда y'=t(x)+xt"(x)
t+xt'+t^2-2t=0
x*dt/dx+t^2-t=0
int dt/(t^2-t)=int dx/x
int dt/t(t-1)=lnx+lnC - правую часть интегрировал как рациональную дробь
-ln[t]+ln[t-1]=ln*Cx -дальше что-то неправильно?


x^2 * y' + y^2 - 2xy = 0
y' + y^2/x^2 - 2 * y/x = 0
y = tx
t' * x + t + t^2 - 2t = 0
dt/dx * x = t - t^2
dt/(t - t^2) = dx/x
dt/(t * (1 - t)) = dx/x
ln |t| - ln |1 - t| = ln |x| + C
t/(t - 1) = C * x
t = y/x
y/x/(y/x - 1) = Cx
y/(y - x) = Cx
y = Cx * (y - x)
y = Cx^2/(Cx - 1)
Вот так вроде, если нигде не ошибся

Автор: Grom 20.3.2009, 8:21

Спасибо!Проверю напишу!

Автор: Grom 20.3.2009, 9:36

Я извеняюсь не понял преобразование в предпоследней строчке!
y=Cx*(y-x) => y = Cx^2/(Cx - 1)

Автор: Тролль 20.3.2009, 9:55

Выразил у.

Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)