Версия для печати темы

Автор: Марина Игоревна 1.3.2009, 13:44

Добрый вечер! Все еще занимаюсь изучением и решением задач по математическому анализу.
Убедиться в том, что для данной функции y=x^z смешанные производные второго порядка равны между собой. Каков геометрический смысл частных производных dz/dx, dz/dy в точке Мо(1,1)
Вот что я нарешала:
dz/dx=yx^(y-1) dz/dx=1 tga=1
dz/dy=(x^y)lnx dz/dy=0 tgb=0
d^2z/dx^2=(y-1)yx^(y-2)
d^2z/dy^2=x^(y-1)
Я не совсем пойму как вычислить смешанные производные второго порядка? Будьте добры подскажите, что в данном случае нужно делать дальше?

Автор: tig81 1.3.2009, 13:58

Функция такая или z=x^y?
Я так понимаю, что все таки z=x^y?!

так

Это что такое? Что такое а?

так

Аналогичный вопрос.

верно

почему так? Как брали первую производную?! Здесь по аналогии.

Чтобы вычислить смешанную производную d^z/dxdy на до выражение dz/dx продифференцировать по у, т.е. d^z/dxdy=d/dy(dz/dx). Аналогично d^z/dуdх=d/dх(dz/dу).

Автор: Марина Игоревна 1.3.2009, 14:33

Да, функция именно такая, с буквами запуталась, а там где тангенс-это в учебнике подобный пример так рассматривали.

Автор: tig81 1.3.2009, 14:38

В каком учебнике?Задание такое же? Зачм оно надо, где оно дальше в решении используется?

Автор: Марина Игоревна 1.3.2009, 16:34

я так полагаю, что для обьяснения геометрического смысла.
запуталась с вычислением d^2z/dy^2 а именно с тем будет lnx обращаться в ноль, или будет какое то выражение.
и про смешанную производную тоже запуталась... там получается что х-константа, а от у надо производную считать?

Автор: tig81 1.3.2009, 17:32

dz/dy=(x^y)lnx
d^2z/dy^2=((x^y)lnx)'y=lnx*(x^y)'=...

dz/dy=(x^y)lnx
d^2z/dydx=((x^y)lnx)'x=(x^y)'lnx+x^y*(lnx)'=...

Автор: Марина Игоревна 2.3.2009, 15:21

d^2z/dy^2=((x^y)lnx)'y=lnx*(x^y)'=x^y*(lnx)^2

d^2z/dydx=((x^y)lnx)'x=(x^y)'lnx+x^y*(lnx)'=(x^(y-1))*(lnxy+1)
вроде бы так