Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Ряды _ Ряд Тейлора по степеням ф-ии
Автор: Stensen 25.2.2009, 9:43
Всем здравствуйте! ПОмогите плз разложить в ряд Тейлора ф-ию:
f(x)=x/sqrt(x-1) по степеням x/(x-1),
где: sqrt - квадратный корень.
Всем спасиб.
Автор: dr.Watson 25.2.2009, 9:51
Введите новую переменную t=x/(x-1), выразите отсюда x через t, подставьте в f(x), разложите полученное по степеням t и будет Вам щастье.
Автор: Stensen 25.2.2009, 11:59
Спасиб. Щастье уже есть. 
Автор: dr.Watson 26.2.2009, 8:04
Спасиб. Щастье уже есть.
А зря - счастья здесь и не будет. На функцию-то я не взглянул, а она не определена в окрестности точки x=0, следовательно и замена не поможет, ибо при t=0 также и x=0.
Автор: Stensen 26.2.2009, 8:26
Возможно я ошибся.Скорее всего ф-ию: f(x)= x/sqrt(1-x) разложить по x/(1-x).
Но все-таки если f(x)=x/sqrt(x-1), как в таких случаях поступать?
Спасибо за ответ.
Автор: dr.Watson 26.2.2009, 9:07
Возможно я ошибся.Скорее всего ф-ию: f(x)= x/sqrt(1-x) разложить по x/(1-x).
Но все-таки если f(x)=x/sqrt(x-1), как в таких случаях поступать?
Спасибо за ответ.
С разложением f(x)= x/sqrt(1-x) по степеням x/(1-x) проблем не будет, сведётся к стандартному разложению t(1+t)^{-1/2}.
Что делать с разложением f(x)=x/sqrt(x-1) по степеням x/(x-1) я уже сказал - ничего не делать, задача не имеет смысла. Если кто-то будет настаивать, обратитесь к всемогущему Чаку Норрису.
Автор: Inspektor 26.2.2009, 9:13
-1 из под корня вынести и всё.
Автор: dr.Watson 26.2.2009, 13:04
Offtop пошёл.
Я бы Вам поаплодировал, Inspektor, если бы не мой друг Sherlock Holmes, который приучил меня критически относиться к любому мнению, даже если оно исходит от инспектора Скотланд-Ярда ... 
Для выхода на комплексную плоскость не хватает сущей малости:
sqrt{-1}=i или sqrt{-1}=-i. Без этого совсем даже не ясно, о какой функции комплексного переменного идёт речь.
Автор: Inspektor 26.2.2009, 13:31
Offtop пошёл.
Я бы Вам поаплодировал, Inspektor, если бы не мой друг Sherlock Holmes, который приучил меня критически относиться к любому мнению, даже если оно исходит от инспектора Скотланд-Ярда ...
Для выхода на комплексную плоскость не хватает сущей малости:
sqrt{-1}=i или sqrt{-1}=-i. Без этого совсем даже не ясно, о какой функции комплексного переменного идёт речь.
Попробуйте оба варианта(это только знак у результата меняет). А вообще я бы не пытался сводить к стандартному разложению, а тупо по формуле Тейлора при a=0.
Автор: dr.Watson 26.2.2009, 13:36
Дык, я знаю оба варианта, отличаются лишь в знаке - проблема в выборе, бросим монету?
Автор: Inspektor 26.2.2009, 13:38
Дык, я знаю оба варианта, отличаются лишь в знаке - проблема в выборе, бросим монету?
подставим "циферку" и посмотрим.
Автор: dr.Watson 26.2.2009, 14:16
Offtop продолжается.
Дык, я уже подставил и стал в позу Буридана:
sqrt{-1}=i OR sqrt{-1}=-i.
В случае действительном у нас есть соглашение об арифметическом значении корня, в комплексном случае такого соглашения нет и быть не может. Даже если извлекается квадратный корень, то надо договариваться, о какой функции идёт речь - о той, которая даёт результат 1 в точке 1 или о той, что даёт -1 в этой же точке. Без этого нет никаких оснований для предпочтения
sqrt{е^{ix}}=sqrt{е^{ix/2}} OR sqrt{е^{ix}}=sqrt{е^{ix/2+ \pi}}=-sqrt{е^{ix/2}}.
Двузначная эта функция - корень квадратный на комплексной плоскости и ничего с этим не поделаешь. Для выделения ветви требуется дополнительное условие.
Автор: Inspektor 26.2.2009, 14:30
Я ведь написал уже- подставьте значение.
1) выносим за знак суммы 1/sqrt(-1).
2) считаем сумму и домножаем на i.
3) Вычисляем значение исходной функции в точке(из области сходимости естественно).
4) Смотрим знак получившейся суммы:
а) если совпал, значит радуемся.
б) не совпал- домножаем на -1 и тоже радуемся.
З.Ы. У вас странное представление об оффтопе, в моём понимании- мы от темы не отходим(даже несмотря на странные позы).
Автор: Inspektor 26.2.2009, 14:43
Да и насчёт основания выбрать положительный корень, думаю вы не правы. При дифференцировании ведь мы берём положительный(т.к. это предел).
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)