Версия для печати темы

Автор: Nat111 21.2.2009, 17:12

Найти общее решение дифференциального уравнения:
2x^(3)y'=y(2x^2-y^2)

решение:
2x^(3)y'=y(2x^2-y^2) делим на 2x^3
получим
y'=(y(2x^2-y^2))/2x^3
где y'=dy/dx
тогда получим
dy/dx=(y(2x^2-y^2))/2x^3

далее нам надо интегрировать?
через u, dv?

Автор: tig81 21.2.2009, 17:20

А вы переменные разделили?Слева у вас только у, справа х?Вынесите в правой части за скобки x^2 и далее по образцу: http://www.reshebnik.ru/solutions/5/2

О, Боже, опять эта формула. Вы ее явно любите.

Автор: Nat111 21.2.2009, 17:51

у меня кажется затруднения...

вот что у меня получилось....

2x^(3)y'=y(2x^2-y^2)

раскрываем скобки:
2x^(3)y'=2x^2-y^3 делим на (2x^(3)/y)
получилось:
(2x^(3)y') : (2x^3/y)=(2x^(2)y-y^3) : (2x^3/y)
(2x^(3)y') : (2x^3/y)=(2x^(2)y) : (2x^3/y) - y^3 : (2x^3/y)
2x^(3)y' * (y/2x^3)=(2x^(2)y) * (y/2x^3) - y^3 * (y/2x^3)
y'y=(y^2/2x)-(y^4/2x^3)
y'y=-(y^2/x^2) делим на y^2
получим:
(y'y)/y^2=(y^2/x^2)/y^2
y'/y=1/x^2

так? или я что то нахимичила???

Автор: tig81 21.2.2009, 18:08

Если вы хотели удивить, то у вас это не получилось...

Вы читали то, что я вам написала выше?
Вот у вас получилось такое: y'=(y(2x^2-y^2))/2x^3

Автор: Dimka 21.2.2009, 18:13

Вправой части вынесите за скобки произведение xy. Затем поделите обе части уравнения на 2х^3. Затем подстановка y/x=k, y=kx, y'=k'x+k и подствляйте в уравнение.

Автор: Nat111 21.2.2009, 18:36

так чтоли?
2x^(3)y'=y(2x^2-y^2)
выносим в правой части ху
2x^(3)y'=yxy(2x-y)
2x^(3)y'=y^(2)x(2x-y) делим на 2x^3
y'=(y^(2)x(2x-y))/2x^3
делаем подстановку
y/x=k => y=kx и y'=k'x+k
получаем
k'x+k=((kx)^2*x(2x-kx))/2x^3
раскрываем скобки
k'x+k=((kx)^2*2x^2-kx^2)/2x^3
k'x+k=((kx)^2-kx^2)/2x

правильно?

Автор: tig81 21.2.2009, 18:44

Хм... А как такое получили? Если выносите ху - это значит, что вы каждое слагаемое в скобках делите на ху.

Автор: Dimka 21.2.2009, 18:45

неправильно преобразование после вынесения xy за скобки. С-но, то что внизу тоже не верно. Посмотрите в справочнике как правильно выносить за скобки переменные.

Автор: Nat111 21.2.2009, 18:56

что то я запуталась во всем этом

Автор: Dimka 21.2.2009, 19:01

Автор: Nat111 21.2.2009, 19:02

не убегайте, я не на вас а на себя злюсь

Автор: Nat111 21.2.2009, 19:36

выносим в правой части x^2
получим
y'=x^2((y(2-y^2))/2x)

так?

Автор: tig81 21.2.2009, 19:50

Судя по всему, то, что вам пишут, вы совершенно не читаете...
Например х-у=х(1-у/х). Если выносим х, то мы ВСЕ слагаемые на него делим

Автор: Nat111 21.2.2009, 19:54

читаю



получится
y'=x^2(((y/x^2)(2-(y^2/x^2)))/2x)

так?

Автор: tig81 21.2.2009, 19:59

Теперь еще сократите на х, y^2/x^2=(у/х)^2 и далее по примеру.

Автор: Nat111 21.2.2009, 20:15

сократила на х

y'=x(((y/x)(2-(y^2/x)))/2)

u=(2-(y^2/x))?

Автор: tig81 21.2.2009, 20:24

Как вы сокращали?
Хм...
Итак, было такое:
2x^(3)y'=y(2x^2-y^2)
Поделили на x^3:
2y'=y(2x^2-y^2)/x^3
Со скобок вынесли x^2:
2y'=yx^2(2-y^2/x^2)/x^3
Сократили:
2y'=y(2-(y/x)^2)/x
Записали следующим образом:
2y'=(y/х)*(2-(y/x)^2)
Не знаю, что вы делали, но должно получиться вот такое. Что такое u?

Автор: Nat111 22.2.2009, 6:38

а я делила на 2х^3....



u=y(x)/x
???

Автор: Dimka 22.2.2009, 7:07

2x^(3)y'=y(2x^2-y^2)

Выносим xy справа за скобку

2x^(3)y'=yxy( 2x/y-y/x )

делим на 2x^3

y'=(y/x)^2 (2x/y-y/x)/2

Дальше подстановка, о которой я написал выше.

Автор: Nat111 22.2.2009, 7:19

y/x=k => y=kx, y'=k'x+k
получим
k'x+k=(kx/x)^2 * (2(x/kx)-(kx/x))/2

где k'=dk/dx

следовательно
(dk/dx)x+k=(kx/x)^2 * (2(x/kx)-(kx/x))/2

сократим двойки, получим
(dk/dx)x+k=(kx/x)^2 * ((x/kx)-(kx/x))

верно?

Автор: Dimka 22.2.2009, 7:33

Нет. Нельзя так 2 сокращать. У Вас проблемы со школьным курсом математики.


Вот до сюда верно сделали. Теперь вправой части сократите на х и раскройте скобки.
(dk/dx)x+k=(kx/x)^2 * (2(x/kx)-(kx/x))/2

Автор: tig81 22.2.2009, 7:41

Автор: Nat111 22.2.2009, 7:57

сокращаем на х:
(dk/dx)x+k=kx/x * ((2/k)-k)/2

раскрываем скобки:
(dk/dx)x+k=(((kx/2)*2/k)-((kx/x)*k))/2
(dk/dx)x+k=((2kx/2k)-(kxk/x))/2
(dk/dx)x+k=(x-kk)/2
(dk/dx)x+k=(x-k^2)/2

верно?

Автор: Dimka 22.2.2009, 8:21

нет.

(dk/dx)x+k=(kx/x)^2 * (2(x/kx)-(kx/x))/2

(dk/dx)x+k=k^2 * (2/k-k)/2

(dk/dx)x+k=(2k-k^3)/2

(dk/dx)x+k=k-(k^3)/2

(dk/dx)x=-(k^3)/2

Автор: Nat111 22.2.2009, 8:50

вопрос: почему при вычитании k-k^3 получилось k^3?


далее надо интегрировать?
но сначала с левой части надо перенести k в правую часть. так?

Автор: tig81 22.2.2009, 10:24

Так получилось не при вычитании, а потому что в левой части равенства есть +k, которое взаимо уничтожилось с таким же +k, стоящим в правой части равенства.

да, разделяйте переменные. Все что с k влево, все, где есть х - вправо.

Автор: Nat111 22.2.2009, 10:35

точно



делим на (xk^3/dx)
так?
получим:
(dk/k^3)=-(dx/2x)

теперь под интеграл левую и правую части?

Автор: tig81 22.2.2009, 10:42

Да.

Автор: Nat111 22.2.2009, 10:51

получим
int(dk/k^3)=-int(dx/2x)
получим
(ln(k)/k^2)=-ln(2x)
верно?

Автор: tig81 22.2.2009, 10:56

Где вы нашли такие формулы?
int(dk/k^3)=int(k^(-3)dk). Далее ищите формулу int(x^ndx)=...
-int(dx/2x)=-(1/2)int(dx/x)=...

Автор: Nat111 22.2.2009, 11:01

понела

Автор: граф Монте-Кристо 22.2.2009, 11:03

1/(k^3) = k^(-3)

Автор: Nat111 22.2.2009, 11:16

спасибо. я поняла




int(x^ndx)=(x^n/ln(x))+c

получим
int(k^(-3)dk)=(k^(-3)/(-ln(3)))+c

верно?



...=-(1/2)ln(х)+c

так?

подставляем полученные значения интегралов в уравнение:
int(dk/k^3)=-int(dx/2x)
получим
k^(-3)/(-ln(3))=-(1/2)ln(x)+c

это уравнение является общим решением так?
значит решение окончено?

Автор: граф Монте-Кристо 22.2.2009, 11:19

Откуда Вы это взяли?blink.gif
int(x^ndx)=(x^(n+1)/(n+1))+c

Автор: Nat111 22.2.2009, 11:22

в таблице интегралов

почему?
написано так
int(x^ndx)=(x^n/ln(x))+c

Автор: tig81 22.2.2009, 11:31

В какой таблице? Дайте ссылку!
http://www.reshebnik.ru/solutions/4/formula/

А проблема вся в том, что вы не отличаете http://www.google.ru/search?hl=ru&q=%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&lr=&aq=f&oq= x^n от http://www.google.ru/search?hl=ru&newwindow=1&q=%D0%BF%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&lr=&aq=f&oq= a^x.
Из предложенной мною таблицы возьмите формулу 1, а не 3.

Автор: Nat111 22.2.2009, 11:36

перепутала степенную от показательной. сори

получилось
int(k^(-3)dk)=((k^(-3+1))/(-3+1))+c

второй интеграл получился такой
int(dx/2x)=-(1/2)int(dx/x)=-(1/2)ln(x)+c

в итоге получаем уравнение общего решения
k^(-2)/-2=-(1/2)ln(x)+c

верно?
решение окончено?

Автор: tig81 22.2.2009, 11:43

верно

так, но его лучше записать следующим образом:
int(dx/2x)=-(1/2)int(dx/x)=-(1/2)ln(x)+lnc=lnc-ln(sqrt(x))=ln(c/sqrt(x))
P.S. sqrt - корень квадратный

верно, только раставляйте скобки и немного перепишите правую часть, хотя это несильно и существенно
П.С. Возможно надо будет также вспомнить, что k^(-2)=1/k^2.

А у вас изначально переменная k была или уравнение решалось относительно другой функции?!

Автор: Nat111 22.2.2009, 12:01

k^(-2)/(-2)=ln(c/sqrt (x))
т.е
k^(-2)/(-2)=ln(1/sqrt (x))+c

верно?



(1/k^2)/(-2)=ln(1/sqrt (x))+c

так?



решалось относительно другой функции

(1/((y/x)^2))/(-2)=ln(1/sqrt (x))+c

упростив левую часть получим
(x^2/(-2y))=ln(1/sqrt (x))+c
верно?

Автор: tig81 22.2.2009, 12:11

А зачем с отдельно написали?Первая строка лучше, ИМХО, будет

Лучше так:-1/(2k^2)=ln(с/sqrt (x))

Так что, ответ окончательный?

Т.е. -1/(2(у/х)^2)=ln(с/sqrt (x))

Был квадрат и нет квадрата (выделено красным).
-х^2/(2у^2)=ln(с/sqrt (x))
Вроде такое должно получиться...

Автор: Nat111 22.2.2009, 12:19

СПАСИБО ЗА ПОМОЩЬ ....

Автор: tig81 22.2.2009, 12:22

Пожалуйста...