Версия для печати темы

Автор: Марина Игоревна 19.2.2009, 15:22

Здравствуйте!
Вот решаю задачу.
Но к сожелению в школе училась давно, да и то такого мы близко не проходили.
дана функция:
y=1-e^-x^2 необходимо построить график данной функции, используя общую схему исследования функции.
В учебнике я прочитала, что область определения данной функции от - бесконечности, до бесконечности.
Данная функция по моим расчетам общего вида и непериодическая,
точка А(0;0)- точка пересечения с осями координат.
Будьте добры, помогите разобраться, что с этим делать дальше? И правильно ли, что функция общего вида?

Автор: tig81 19.2.2009, 16:28

Раставляйте скобки. Функция такая http://www.radikal.ru?

верно

Что вы подразумеваете под словами "общего вида"? Да, непериодическая.

верно

http://www.prepody.ru/topic13.html
http://www.reshebnik.ru/solutions/3/

Автор: Марина Игоревна 19.2.2009, 17:13

Да, функция имеет вид как вы написали.
Функция общего вида - это значит не четная, не нечетная - по крайней мере со школы точно помню, что так нам преподаватели объясняли. У меня затруднения возникли при определении наличия асимптот, точнее я не совсем понимаю как здесь вычислять пределы функции. х^2 будет стремиться к бесконечности, а -х^2 к минус бесконечности так что ли? Размышляя у меня возникли впечатления, что асимптот здесь вообще никаких нет, только не знаю как посчитать.

Автор: граф Монте-Кристо 19.2.2009, 17:32

При х -> oo показатель экспоненты будет стремиться к -оо, значит,сама экспонента стремится к 0.Тогда функция будет стремиться к единице,значит, у=1 будет горизонтальной асимптотой.

Автор: tig81 19.2.2009, 17:35

понятно

Давайте найдем y(-x):
y(-x)=1-e^(-(-x)^2)=1-e^(-x^2)=y(x).
Вывод?

Вертикальных асимптот нет.
Горизонтальные:lim(x->00)y(x)
Наклонные:y=kx+b, где k=lim(x->00)y(x)/x, b=lim(x->00)(y(x)-kx)

Автор: Марина Игоревна 19.2.2009, 17:48

вывод: функция четная, график симметричен относительно оси ординат

Автор: tig81 19.2.2009, 17:59

именно так

Автор: Dimka 19.2.2009, 19:40

А дальше всё, уморились и спать пошли. Завтра продолжим "жевать" асимптоты.

Автор: Марина Игоревна 21.2.2009, 17:52

Ну вот и приступим пожалуй к "жеванию асимптот". Здравствуйте. У меня возник вопрос, как доказать, что вертикальных асимптот нет?
и возникла сложность как посчитать предел функции y=(1-e^(-x^2))/x? при х стремящемся к бесконечности?

Автор: Dimka 21.2.2009, 18:04

Т.к. область определения - вся числовая прямая, то вертикальных асимптот нет.




Приведите все к общему знаменателю и по правилу Лопиталя 2 раза.

Автор: Марина Игоревна 21.2.2009, 18:33

А разве нельзя проще? Допустим так: экспонента стремится к нулю, значит остается lim1/x при х сремящемуся к бесконечности и соответственно предел равен нулю? просто пытаюсь аосчитать наклонные асимптоты. И есть ли они вообще?

Автор: Dimka 21.2.2009, 18:37

Можно так.

Автор: Марина Игоревна 21.2.2009, 18:47

Я посчитала. Получается, что у графика данной функции только одна асимптота - горизонтальная у=1, а наклонных нет.

Автор: Dimka 21.2.2009, 18:49

Верно.

Автор: Марина Игоревна 22.2.2009, 7:31

Спасибо. С асимптотами разобралась с вашей помощью.
Теперь вопрос как посчитать производную первого порядка от функции y=1-e^(-x^2)? Я полагаю, что тут необходимо применить логарифмическое дифференцирование? Если это верный путь решения, то получается, что ln1=0 А ln(-x^2*lne)' и здась рассматривать по правилу дифференцирования(произведение функций)? (Lne)'=1/e? или это неверно?

Автор: Ярослав_ 22.2.2009, 7:35

Без логарифмирования можно обойтись.
y'=-exp(-x^2)*(-x^2)'=2x*exp(-x^2)

Автор: Марина Игоревна 22.2.2009, 8:19

Извините, я не совсем понимаю что такое ехр? Не могли бы вы пояснить?
И... Раз уж производная имеет такой вид, не подскажете как определить интервалы возрастания и убывания функции, а так же максимум или минимум?

Автор: Dimka 22.2.2009, 8:27

e^(-x^2) = exp(-x^2), просто в программировании так обозначают экспоненту.

Автор: Ярослав_ 22.2.2009, 8:28

exp(-x^2)=e^(-x^2)

Производную к нулю приравнять.
2x*e^(-x^2)=0, экспонента всегда положительна, значит икс равен ...
Про возрастания и убывания написано во всех учебниках.

Автор: Марина Игоревна 22.2.2009, 9:00

получается так:
2х=0 или e^(-x^2)=0- не соображу как это посчитать. Если подумать, то выходит, что е=о, а степень любая может быть
x=0 или .................

Автор: Ярослав_ 22.2.2009, 9:14

е - это число 2,71828....., оно не может быть равно нулю, представьте себе, у Вас оклад равен столько то рублей в месяц, проработав месяц начальник говорит, а у Вас зарплата равна нулю!
Причём функция e^x всегда больше нуля.
х=0, в этой точке х=0 имеется экстремум, максимум или минимум, это Вам нужно и выяснить.

Автор: Марина Игоревна 22.2.2009, 9:20

Спасибо, сейчас буду выяснять

Автор: Марина Игоревна 22.2.2009, 9:38

Начну с того, что я поняла так, что сначала будет такая запись:
2x*e^(-x^2)=0
2х=0
х=0 ПРАВИЛЬНО??
Ну и тогда начертив числовую прямую, отменив точку 0 необходимо определить знаки, а они такие:
на интервале (-бесконечнось;0] - минус, на интервале [0;бесконечность) - плюс.
и по всойству, еслиf'(x ) проходя через точку Хо меняет знак с плюса на минус - то это точка минимума функции

Автор: граф Монте-Кристо 22.2.2009, 10:06

Это будет точка максимума.

Автор: Марина Игоревна 22.2.2009, 10:31

Извините, я ошиблась знак меняет с минуса на плюс. Тогда это точка минимума

Автор: tig81 22.2.2009, 10:33

Автор: Марина Игоревна 23.2.2009, 15:40

Здравствуйте! Можно вопрос теперь по поводу призводной второго порядка задать?
я посчитала и получила:
y''=2e^(-x^2)-4x^2*e^(-x^2)
затем данное выражение приравняла к нулю и получила точки перегиба равные
х=(1/2)^1/2
x=-(1/2)^1/2
а при данном х у надо считать? Если его считать, то тогда получается отрицательное число. Или по х откладывать данные точки и график будет идти так, что до точек х=(1/2)^1/2
x=-(1/2)^1/2 он будет идти по линии у=1, а затем как парабола через начало координат. Или я опять ошиблась? Подскажите пожалуйста

Автор: tig81 23.2.2009, 16:54

верно

ну и что?! В чем проблема?

Ничего не поняла... График будет такой: http://www.radikal.ru

Автор: Марина Игоревна 23.2.2009, 17:41

при х=(1/2)^1/2 y=-6.4
и при х=-(1/2)^1/2 y=-6.4это верно? Я просто не пойму как определить что функция перегибается именно в тех точках как на графике

Автор: tig81 23.2.2009, 17:48

Это вы, я так понимаю, нашли значение функции у в точках, в которых вторая производная равна нулю. Но нашли неправильно.
y(sqrt(2)/2)=y(-sqrt(2)/2)=.3934693401

1) Рисуете координатную прямую
2) наносите на нее точки, в которых вторая прозводная равна нулю, т.е. точки х=(1/2)^1/2 и х=-(1/2)^1/2
3) Разбиваете всю область на три промежутка (обычно рисуются так называемые "волны"): (-00; -(1/2)^1/2), (-(1/2)^1/2; (1/2)^1/2) и ((1/2)^1/2; +00)
4) Определяете на каждом промежутке знак второй производной

Автор: Марина Игоревна 23.2.2009, 18:01

Получается значение у считать не обязательно?
Спасибо, что помогли разобраться с данным заданием, сама бы я не разобралась с ним и тем более не решила

Автор: tig81 23.2.2009, 18:10

смотря в каком случае. Если для определения знака второй производной, то нет; если для построения графика функции - надо.

Автор: tig81 24.2.2009, 16:14

Марина Игоревна, или http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=10087&st=0&gopid=66136&#entry66136 ваш вопрос?