Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Дифференциальные уравнения _ y'+sin(x+y)=sin(x-y)
Автор: Nat111 15.2.2009, 18:02
Подскажите каким методом решается вот это диф.уравнение (найти общее решение):
y'+sin(x+y)=sin(x-y)
я думаю надо начать так:
y'+sin(x+y)=sin(x-y)
y'=sin(x-y)-sin(x+y)
y'=sin(x^2-y^2)
правильно? 
Автор: tig81 15.2.2009, 18:07
Подскажите каким методом решается вот это диф.уравнение (найти общее решение):
y'+sin(x+y)=sin(x-y)
я думаю надо начать так:
y'+sin(x+y)=sin(x-y)
y'=sin(x-y)-sin(x+y)
правильно
"интересную" формулу применили. Найдите тригонометрические формулы, вас интересует "разность синусов"
Автор: граф Монте-Кристо 15.2.2009, 18:18
Либо раскройте синусы суммы и разности по соответствующим формулам,а потом разделите переменные и проинтегрируйте.
Автор: Nat111 15.2.2009, 18:20
правильно
"интересную" формулу применили. Найдите тригонометрические формулы, вас интересует "разность синусов"
формула "разность синусов" :
sinA-sinX=2sin((A-X)/2)*cos((A- X)/2)
следовательно:
y'=2sin(((x-y)(x+y))/2)*cos(((x-y)(x+y))/2)
так?
что дальше делать?
Автор: tig81 15.2.2009, 18:27
формула "разность синусов" :
sinA-sinX=2sin((A-X)/2)*cos((A- X)/2)
y'=2sin(((x-y)(x+y))/2)*cos(((x-y)(x+y))/2)
А ну еще раз формулу примените...Вы где-то минусы потеряли. И если я ее правильно нашла, то она такая:
sinx-siny=2sin(x-y)/2*cos(x+y)/2
Либо раскройте синусы суммы и разности по соответствующим формулам...
или конечно так...
Автор: Nat111 15.2.2009, 18:31
А ну еще раз формулу примените...Вы где-то минусы потеряли. И если я ее правильно нашла, то она такая:
sinx-siny=2sin(x-y)/2*cos(x+y)/2
хорошо сейчас проверю...
Автор: Nat111 16.2.2009, 15:44
y'=sin(x-y)-sin(x+y)
получилось:
y'=2sin((x-y)-(x+y))/2*cos((x-y)-(x+y))/2
теперь воспользуемся формулами:
sin(x/y)=(+/-)корень((1-сosx)/2) и
cos(x/y)=(+/-)корень((1+сosx)/2)
получилось:
y'=2корень((1-сos(x-y)-(x+y))/2)*корень((1+сos(x-y)-(x+y))/2)
верно?
Автор: граф Монте-Кристо 16.2.2009, 15:48
cos(x/y)=(+/-)корень((1+сosx)/2)
Никогда о таких формулах не слышал.
y'=2sin((x-y)-(x+y))/2*cos((x-y)-(x+y))/2
Раскройте скобки и посмотрите,что там можно будет сделать.
Автор: tig81 16.2.2009, 15:58
y'=sin(x-y)-sin(x+y)
получилось:
y'=2sin((x-y)-(x+y))/2*cos((x-y)-(x+y))/2
еще раз посмотрите формулу разносчти синусов, например, http://www.pm298.ru/trigon4.shtml:
sinx-siny=2sin((x-y)/2)cos((x+y)/2). По крайней мере у меня она выглядит так.
sin(x/y)=(+/-)корень((1-сosx)/2) и
cos(x/y)=(+/-)корень((1+сosx)/2)
что это за формулы и зачем вы их приминяете? После того как применете формулу разности синусов, упростите аргументы функций.
П.С. Попробуйте может быть способ, предложенный графом Монте-Кристо?Может он вам окажется проще?Только формулу также примините правильно.
Автор: Inspektor 16.2.2009, 15:58
sin(x/y)=(+/-)корень((1-сosx)/2) и
cos(x/y)=(+/-)корень((1+сosx)/2)
из этих формул следует, что значение sin(x/y) не зависит от игрека.
Автор: tig81 16.2.2009, 16:08
Автор: Nat111 16.2.2009, 16:17
sin(x/y)=(+/-)корень((1-сosx)/2) и
cos(x/y)=(+/-)корень((1+сosx)/2)
эти формулы я нашла в учебнике Богомолова
из этих формул следует, что значение sin(x/y) не зависит от игрека.
и что это значит? она для моего примера не подходит?
Автор: tig81 16.2.2009, 16:25
эти формулы я нашла в учебнике Богомолова
еще раз перепроверьте...
это значит, что в левой части равнества у присутствует, а в правой где-то испарился. Такого быть не может.
Нет, не подходит. Вам пока надо или разность синусов или синус разности и суммы.
Автор: Nat111 16.2.2009, 16:33
y'=sin(x-y)-sin(x+y)
получилось:
y'=2sin((x-y)-(x+y))/2*cos((x-y)+(x+y))/2
знак исправила
упрощаю:
y'=2sin(x-y-x-y)/2*cos(x-y+x+y)/2
y'=2sin(-y-y)/2*cos(x+x)/2
y'=2sin(-2y)/2*cos(2x)/2
y'=-2siny*cosx
ну что правильно?
Автор: tig81 16.2.2009, 16:37
ну что правильно?
"Кричали девушки ура и в воздух чепчики бросали..."
Теперь разделяйте переменные.
Автор: Nat111 16.2.2009, 16:43
"Кричали девушки ура и в воздух чепчики бросали..."
Теперь разделяйте переменные.
а как разделять?
получится типа:
2siny=cosx
Автор: tig81 16.2.2009, 16:50
а как разделять?
ну начинается...
2siny=cosx
Имеем уравнение y'=-2siny*cosx, здесь y'=dy/dx. Подставляем в уравнение и преобразовываем его так, чтобы в левой части стояли только функции от у, а в правой от х. Посмотрите еще раз предыдущий ваш пример, а также http://www.reshebnik.ru/solutions/5/1.
Автор: Nat111 16.2.2009, 17:54
Имеем уравнение y'=-2siny*cosx, здесь y'=dy/dx. Подставляем в уравнение и преобразовываем его так, чтобы в левой части стояли только функции от у, а в правой от х. Посмотрите еще раз предыдущий ваш пример, а также http://www.reshebnik.ru/solutions/5/1.
получится:
dy/dx=-2siny*cosx делим на (siny)/dx
получится
dydx/sinydx=(-2siny*cosx)dx/siny
dy/siny=-siny*cosx
а дальше что делать? интегрировать?
Автор: tig81 16.2.2009, 18:03
получится:
dy/dx=-2siny*cosx делим на (siny)/dx
получится
т.е. домножаем на dx/siny
dy/siny=-siny*cosx
почему справа такое получилось? Еще раз внимательно выполните действия.
Автор: Nat111 20.2.2009, 10:32
y'=sin(x-y)-sin(x+y)
по формуле:
получилось:
y'=2cos((x-y)+(x+y))/2*sin((x-y)-(x+y))/2
упрощаем:
y'=2cos(x-y+x+y)/2*sin(x-y-x-y)/2
y'=2cos(x+x)/2*sin(-y-y)/2
y'=2cos(2x)/2*sin(-2y)/2
y'=2cosx*(-siny)
y'=-2cosxsiny
разделяем переменные:
где y'=dy/dx =>
dy/dx=-2cosxsiny /*dx/siny
dy/siny=(-2cosx/siny)dx
dy/siny=-2cosxdx
правильно?
а вот дальше стопор
Автор: tig81 20.2.2009, 11:43
dy/siny=-2cosxdx
правильно?
а вот дальше стопор
Правильно. Теперь интегрируйте правую и левую часть. Справа табличный интеграл, для левого попробуйте универсальную тригонометрическую постановку.
Автор: Nat111 20.2.2009, 11:52
Правильно. Теперь интегрируйте правую и левую часть. Справа табличный интеграл, для левого попробуйте универсальную тригонометрическую постановку.
справо получилось -2sinx+c
а вот про универсальную тригонометрическую постановку я даже не знаю что это
Автор: tig81 20.2.2009, 11:55
справо получилось -2sinx+c
правильно
Запускаете гугл и ищите, смотрите примеры.
Автор: Nat111 20.2.2009, 12:01
Запускаете гугл и ищите, смотрите примеры.
левая часть int dy/sin=int (2tgy/2)dy/(tg^2 (y/2)+1)
так?
Автор: граф Монте-Кристо 20.2.2009, 14:03
Да.
Автор: Nat111 20.2.2009, 14:08
левая часть int dy/sin=int (2tgy/2)dy/(tg^2 (y/2)+1)
так?
что дальше делать?
Автор: граф Монте-Кристо 20.2.2009, 14:42
Сделайте замену переменных tg(y/2) = t, находите dt, подставляйте dу, выраженное через dt, вычисляйте интеграл.
Автор: tig81 20.2.2009, 15:40
что дальше делать?
Посмотрите еще раз внимательно примеры
+ внимательно сообщение графа Монте-Кристо.Автор: Nat111 21.2.2009, 7:17
Сделайте замену переменных tg(y/2) = t
получим:
int (2tdy/t^2+1)
dy будет или dt?
Автор: tig81 21.2.2009, 8:14
получим:
int (2tdy/(t^2+1))
dy будет или dt?
Пока вы его не выразите через t будет dy. Если tg(y/2)=t => y/2=arctgt => y=2arctgt. Дифференцируете и находите dy.
П.С. Не забывайте расталять скобки, а то иначе выражение нечитабельно или неправильно читаельно.
Автор: Nat111 21.2.2009, 8:20
Если tg(y/2)=t => y/2=arctgt => y=2arctgt. Дифференцируете и находите dy.
П.С. Не забывайте расталять скобки, а то иначе выражение нечитабельно или неправильно читаельно.
вот не поняла выделенное красным.
я что не правильно выразила?
int (2tdy/(t^2+1))
Автор: tig81 21.2.2009, 8:29
вот не поняла выделенное красным.
Если tg(y/2)=t, то выражая из этого равенства у/2, получаем, что y/2=arctgt, домножаем левую и правую часть на 2, имеем: y=2arctgt. Посмотрите примеры, в которых применяется универсальная тригонометрическая подстановка. Если вдруг случайно не найдете в книге (
), поищите в сети.ВЫразили правильно, но недовыражали. Не пересчитали дифференциал. А в таком виде, как вы получили интеграл, он считается легко: подынтегральная функция 2t/(t^2+1) от переменной интегрирования у не зависит, а значит относительно ее константа, т.е. ее можно вынести за знак интеграла: 2t/(t^2+1)*intdy. Знак интеграла уничтожает знак дифференциала, т.е. получаем, что заданный интеграл равен 2t/(t^2+1)*у. А это не есть верно.
Автор: Dimka 21.2.2009, 9:29
вот не поняла выделенное красным.
я что не правильно выразила?
int (2tdy/(t^2+1))
У Вас простейшее диф. уравнение, которое решается за 10 мин. Вы его мусолите целую неделю, "интересные" формулы применяете и скобки неправильно расставляете. Что так плохо по математике-то "шарите"?
Автор: tig81 21.2.2009, 10:28
Автор: Nat111 21.2.2009, 12:23
У Вас простейшее диф. уравнение, которое решается за 10 мин. Вы его мусолите целую неделю, "интересные" формулы применяете и скобки неправильно расставляете. Что так плохо по математике-то "шарите"?
Я математику три года не решала...все забыла...
Автор: tig81 21.2.2009, 12:45
Ну так что получилось?
Автор: Dimka 21.2.2009, 12:46
Я тоже 9 лет назад закончил ВУЗ и с того времени ничего не решал, но вроде все помню.
Автор: Nat111 21.2.2009, 13:10
Ну так что получилось?
а вот так можно сделать:
int ((2tg(y/2)dy)/(tg^2(y/2)+1))
делаем замену где
tg(y/2)=t
dy=dt
получим
2int ((tdt)/(t^2+1))
Автор: граф Монте-Кристо 21.2.2009, 13:19
Неверно.Это Вы слишком уж себе жизнь решили облегчить.
Автор: tig81 21.2.2009, 13:22
Вы так примеры и не посмотрели....
Автор: Nat111 21.2.2009, 13:25
Вы так примеры и не посмотрели.... наоборот посмотрела вот там как я сделала было...
Автор: Nat111 21.2.2009, 13:37
а dy=(2dt)/(1+t^2)???
Автор: tig81 21.2.2009, 13:38
наоборот посмотрела вот там как я сделала было...
Где смотрели? Пример точно был с использованием универсальной тригонометрической подстановки?
Автор: Nat111 21.2.2009, 13:39
Где смотрели? Пример точно был с использованием универсальной тригонометрической подстановки?
в интернете. да был с использованием универ. триг. подстановкой.
Автор: tig81 21.2.2009, 13:43
а dy=(2dt)/(1+t^2)???
в интернете. да был с использованием универ. триг. подстановкой.
ссылку дайте. Или уже разобрались?
Автор: Nat111 21.2.2009, 13:58
ссылку дайте. Или уже разобрались?
несовсем.
получается:
int dy/siny=-2int cosxdx
делаем замену
tg(y/2)=t => y=2arctgt
dy=(2dt)/(1+t^2)
получаем:
2int ((tg(y/2))/(tg^2(y/2)+1))*((2dt)/(1+t^2))=-2int cosxdx
так? или опять что то напутала?
Автор: tig81 21.2.2009, 14:01
int dy/siny=-2int cosxdx
делаем замену
tg(y/2)=t => y=2arctgt
dy=(2dt)/(1+t^2)
получаем:
2int ((tg(y/2))/(tg^2(y/2)+1))*((2dt)/(1+t^2))=-2int cosxdx
А тангенс половинного аргумента вы как заменили? У вас интеграл должен получиться только зависящим от t. Еще раз внимательно просмотрите пример, посмотрите другой подобный пример. Скачайте, например, книгу Каплан "Практические занятия по высшей математике", там подобные примеры также рассматриваются. Вообще посмотрите тему интегрирования, особенно рациональных дробей, т.к. в конечном итоге вы должны свести ваш интеграл к такому.
Автор: Nat111 21.2.2009, 14:17
А тангенс половинного аргумента вы как заменили? У вас интеграл должен получиться только зависящим от t. Еще раз внимательно просмотрите пример, посмотрите другой подобный пример. Скачайте, например, книгу Каплан "Практические занятия по высшей математике", там подобные примеры также рассматриваются. Вообще посмотрите тему интегрирования, особенно рациональных дробей, т.к. в конечном итоге вы должны свести ваш интеграл к такому.
это надо было заместо у подставить 2arctgt.
т.е. получится
2int ((tg(2arctgt/2))/(tg^2(2arctgt/2)+1))*((2dt)/(1+t^2))
получим в итоге
2int ((tg(arctgt))/(tg^2(arctgt)+1))*((2dt)/(1+t^2))
так?
а вот левую часть отдельно можно проинтегрировать и привести к выражению с у, чтобы правую часть не трогать, т.к. там табличный интеграл получается?
спасибо за книгу! скачиваю...
Автор: tig81 21.2.2009, 14:25
это надо было заместо у подставить 2arctgt.
надо было вместо tg(y/2) подставлять t
так и нужно
пожалуйста
Автор: Nat111 21.2.2009, 14:29
надо было вместо tg(y/2) подставлять t
т.е получим
2int (t/(t^2+1))*((2dt)/(1+t^2))
верно?
далее будет
2int((2tdt)/((t^2+1)^2))
4int((tdt)/((t^2+1)^2))
Автор: tig81 21.2.2009, 14:41
т.е получим
2int (t/(t^2+1))*((2dt)/(1+t^2))
верно?
практически. ВЫ забыли, что синус у вас стоит в знаменателе, а не в числителе.
Автор: Nat111 21.2.2009, 14:52
практически. ВЫ забыли, что синус у вас стоит в знаменателе, а не в числителе.
и правда забыла
вот получаем так значит:
int dy/siny=
=int((2dt/(1+t^2))/(t/(t^2+1)))=
=int((2dt/(1+t^2)) : (t/(t^2+1)))=
=int((2dt/(1+t^2)) * ((t^2+1)/t))=
=int(2dt/t)=
=2int(dt/t)=
=2ln(t)+c=
=2ln(tg(y/2))+c
верно?
Автор: tig81 21.2.2009, 14:55
и правда забыла
вот получаем так значит:
int dy/siny=
=int((2dt/(1+t^2))/(t/(t^2+1)))=
=int((2dt/(1+t^2)) : (t/(t^2+1)))=
=int((2dt/(1+t^2)) * ((t^2+1)/t))=
=int(2dt/t)=
=2int(dt/t)=
=2ln(t)+c=
=2ln(tg(y/2))+c
верно?
У меня без двойки получилось. Для синуса вы такую формулу использовали: siny=2tg(y/2)/(1+tg^2(y/2))?
Автор: Nat111 21.2.2009, 14:57
У меня без двойки получилось. Для синуса вы такую формулу использовали: siny=2tg(y/2)/(1+tg^2(y/2))?
да такую.
может я где то допустила ошибку
да я допустила
int dy/siny=
=int((2dt/(1+t^2))/(2t/(t^2+1)))=
=int((2dt/(1+t^2)) : (2t/(t^2+1)))=
=int((2dt/(1+t^2)) * ((t^2+1)/2t))=
=int(dt/t)=
=int(dt/t)=
=ln(t)+c=
=ln(tg(y/2))+c
Автор: tig81 21.2.2009, 15:02
да такую.
может я где то допустила ошибку
вроде двойки сокращаются
Автор: Nat111 21.2.2009, 15:04
да я допустила
int dy/siny=
=int((2dt/(1+t^2))/(2t/(t^2+1)))=
=int((2dt/(1+t^2)) : (2t/(t^2+1)))=
=int((2dt/(1+t^2)) * ((t^2+1)/2t))=
=int(dt/t)=
=int(dt/t)=
=ln(t)+c=
=ln(tg(y/2))+c
двойки точно сокращаются.
а теперь что через u, dv выражать?
Автор: tig81 21.2.2009, 15:09
да я допустила
о, уже нашли
а теперь что через u, dv выражать?
Зачем? У вас где-то интеграл остался?
Теперь возвращайтесь к уравнению и подставляйте значения найденных интегралов.
Автор: Nat111 21.2.2009, 15:37
Теперь возвращайтесь к уравнению и подставляйте значения найденных интегралов.
в уравнение
int (dy/siny)=-2int(cosxdx)
получим
ln(tg(y/2))+c=-2sinx+c
а дальше что?
теперь нам надо чтобы в левой части был у?
Автор: tig81 21.2.2009, 15:58
в уравнение
int (dy/siny)=-2int(cosxdx)
получим
ln(tg(y/2))+c=-2sinx+c
а дальше что?
теперь нам надо чтобы в левой части был у?
Не обязательно. Вроде как все.
Автор: Nat111 21.2.2009, 16:00
Не обязательно. Вроде как все.
ln(tg(y/2))+c=-2sinx+c
это получается общим решением?
Автор: граф Монте-Кристо 21.2.2009, 16:01
ln(tg(y/2))+c=-2sinx+c
Вообще справа и слева должны быть разные константы.Но можно(а обычно так и делают) ввести одну константу,равную их разности.
Это уже преобразования,особой смысловой нагрузки они не несут.Так что,если оставите в таком виде,я думаю,больших проблем не будет.
Автор: Nat111 21.2.2009, 16:19
Вообще справа и слева должны быть разные константы.Но можно(а обычно так и делают) ввести одну константу,равную их разности.
т.е так
ln(tg(y/2))=-2sinx+c
и это уравнение будет являться общим решением.
так?
Автор: граф Монте-Кристо 21.2.2009, 16:44
Да.
Автор: tig81 21.2.2009, 16:57
Автор: Nat111 21.2.2009, 17:03
СПАСИБО ВАМ ВСЕМ ОГРОМНОЕ ЧЕЛОВЕЧЕСКОЕ СПАСИБО!!! 
Автор: tig81 21.2.2009, 17:07
Автор: chocolet1 13.10.2022, 11:51
https://gilport.com/ https://gilport.com/content/page2.phpl https://gilport.com/content/page3.php https://gilport.com/in/1.html https://gilport.com/in/2.html https://gilport.com/in/3.html https://gilport.com/in/4.html https://gilport.com/in/5.html https://gilport.com/in/6.html https://gilport.com/in/7.html https://gilport.com/in/8.html https://gilport.com/in/9.html https://gilport.com/in/10.html https://gilport.com/in/11.html https://gilport.com/in/12.html https://gilport.com/in/13.html https://gilport.com/in/14.html https://gilport.com/in/15.html https://gilport.com/in/16.html https://gilport.com/in/17.html https://gilport.com/in/18.html https://gilport.com/in/19.html https://gilport.com/in/20.html https://gilport.com/in/21.html https://gilport.com/in/22.html https://gilport.com/in/23.html https://gilport.com/in/24.html https://gilport.com/in/25.html https://gilport.com/in/26.html https://gilport.com/in/27.html https://gilport.com/in/28.html https://gilport.com/in/29.html https://gilport.com/in/30.html https://gz-zjrq.com/ https://www.ilanda.info https://www.ilanda.info/content/page2.php https://www.ilanda.info/in/yamcha.html https://www.ilanda.info/in/chiaotzu.html https://www.ilanda.info/in/yajirobe.html https://www.ilanda.info/in/so17.html https://www.ilanda.info/in/majinbuu.html https://www.ilanda.info/in/so18.html https://www.ilanda.info/in/santa.html https://www.ilanda.info/in/videl.html https://www.ilanda.info/in/tienshinhan.html https://www.ilanda.info/in/pan.html https://www.ilanda.info/in/songoku.html https://www.ilanda.info/in/songohan.html https://www.ilanda.info/in/piccolo.html https://www.ilanda.info/in/vegeta.html https://www.ilanda.info/in/bulma.html https://www.ilanda.info/in/krilin.html https://www.ilanda.info/in/songoten.html https://www.ilanda.info/in/chichi.html https://www.ilanda.info/in/vuthienlaosu.html https://www.ilanda.info/in/trunks.html https://gz-zjrq.com https://gz-zjrq.com/content/page2.php https://gz-zjrq.com/content/page3.php https://gz-zjrq.com/in/1.html https://gz-zjrq.com/in/2.html https://gz-zjrq.com/in/3.html https://gz-zjrq.com/in/4.html https://gz-zjrq.com/in/5.html https://gz-zjrq.com/in/6.html https://gz-zjrq.com/in/7.html https://gz-zjrq.com/in/8.html https://gz-zjrq.com/in/9.html https://gz-zjrq.com/in/10.htm https://gz-zjrq.com/in/11.html https://gz-zjrq.com/in/12.html https://gz-zjrq.com/in/13.html https://gz-zjrq.com/in/14.html https://gz-zjrq.com/in/15.html https://gz-zjrq.com/in/16.html https://gz-zjrq.com/in/17.html https://gz-zjrq.com/in/18.html https://gz-zjrq.com/in/19.html https://gz-zjrq.com/in/20.html https://gz-zjrq.com/in/21.html https://gz-zjrq.com/in/22.html https://gz-zjrq.com/in/23.html https://gz-zjrq.com/in/24.html https://gz-zjrq.com/in/25.html https://gz-zjrq.com/in/26.html https://gz-zjrq.com/in/27.html https://gz-zjrq.com/in/28.html https://gz-zjrq.com/in/29.html https://gz-zjrq.com/in/30.html
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)