Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Интегралы _ Решить интегралы
Автор: PCGAMER2005 12.2.2009, 21:30
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить данные интегралы:
1) int a^(x)*e^(x) dx
2)int ln^3(x)/sqrt(x^5) dx
Второй пытался решать методом замены ln^3(x)=y и далее решать через y, но ничего не получилось.
Насчёт первого, идей никаких нет, думал решать через U, dU, dV, V, но за что брать U и V не знаю.
Тема только недавно началась, хочется заранее понять принцип решения. Поэтому желательно кроме решения немного пояснений 
И заодно подскажите пожайлуста литературу, для новичка, по интегралам.
Спасибо.
Автор: Тролль 12.2.2009, 21:45
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить данные интегралы:
1) int a^(x)*e^(x) dx
2)int ln^3(x)/sqrt(x^5) dx
Второй пытался решать методом замены ln^3(x)=y и далее решать через y, но ничего не получилось.
Насчёт первого, идей никаких нет, думал решать через U, dU, dV, V, но за что брать U и V не знаю.
Тема только недавно началась, хочется заранее понять принцип решения. Поэтому желательно кроме решения немного пояснений
И заодно подскажите пожайлуста литературу, для новичка, по интегралам.Спасибо.
1) I = int a^x * e^x dx = int a^x d(e^x) = a^x * e^x - int e^x d(a^x) =
= a^x * e^x - int e^x * a^x * ln a
Получаем, что
I = a^x * e^x - ln a * I => I = a^x * e^x/(1 + ln a)
2) Можно попробовать по частям
Автор: tig81 12.2.2009, 21:51
1) int a^(x)*e^(x) dx
попробуйте один раз по частям, а затем решить уравнение относительно заданного интеграла. Вроде должно получиться. В качестве u обычно берется та функция, которая после дифференцирования упрощается. В данном случае, как по мне, существенной разницы нет.
первое, что пришло в голову почему-то, это три раза по частям. Хотя могу ошибаться. Попробуйте...
Автор: Руководитель проекта 13.2.2009, 5:06
1. Int((a^x)*(e^x))dx=Int((a*e)^x))dx=((a*e)^x))/ln(a*e)+C. Но можно и так как предложили уважаемые Тролль и tig81 
2. Действительно 3 раза по частям.
Автор: tig81 13.2.2009, 6:57
1. Int((a^x)*(e^x))dx=Int((a*e)^x))dx=((a*e)^x))/ln(a*e)+C.
А у меня так почему-то не получилось?!
Автор: Руководитель проекта 13.2.2009, 11:01
А у меня так почему-то не получилось?!
Конечно не получилось. По ночам спать надо, а не интегралы для нерадивых студентов решать
Автор: tig81 13.2.2009, 11:07
Конечно не получилось. По ночам спать надо, а не интегралы для нерадивых студентов решать
В этом причину тоже видела, но все же...Да у нас и было то всего 23:51 Автор: Руководитель проекта 13.2.2009, 16:19
Да у нас и было то всего 23:51
Это тоже не утро
Автор: tig81 13.2.2009, 16:22
согласна 
Автор: PCGAMER2005 14.2.2009, 9:29
Спасибо всем за отзывчивость, насчёт первого всё ясно, а второй, как понять по частям?
т.е. по формуле int F(x)g(x)dx= F(x)G(x)- int f(x)G(x)dx
и как можно эту схему применять 3-раза?
т.е. каждый раз рассматривая последний интеграл?
Автор: Julia 14.2.2009, 9:36
Форммула интегрирования по частям: int [u * dv] = u*v - int [v * du]
И далее рассматриваете последний (собственно, он и единственный) интеграл.
Автор: PCGAMER2005 14.2.2009, 9:37
и рассматривать его 3-раза получается?
Автор: tig81 14.2.2009, 9:37
...а второй, как понять по частям?
т.е. по формуле int F(x)g(x)dx= F(x)G(x)- int f(x)G(x)dx
Да практически, т.е.
через U, dU, dV, V
т.е. каждый раз рассматривая последний интеграл?
каждый раз интеграл будет единственным, но верно, применять к интегралу формулу интегрирования по частям.
Автор: PCGAMER2005 14.2.2009, 9:41
ладно, сейчас попытаюсь, отпишусь о результатах)
Автор: tig81 14.2.2009, 9:46
ладно, пробуйте!
Автор: PCGAMER2005 14.2.2009, 11:04
Ещё вопрос, поясните пожалуйста вот этот момент:
I = a^x * e^x - ln a * I => I = a^x * e^x/(1 + ln a)
в первом, почему ln(a)*I ?
Автор: tig81 14.2.2009, 11:24
Ещё вопрос, поясните пожалуйста вот этот момент:
I = a^x * e^x - ln a * I => I = a^x * e^x/(1 + ln a)в первом, почему ln(a)*I ?
1) I = int a^x * e^x dx = int a^x d(e^x) = a^x * e^x - int e^x d(a^x) =
= a^x * e^x - int e^x * a^x * ln a
Потому что int a^xdx=a^x*ln(a).
Автор: PCGAMER2005 14.2.2009, 11:46
Потому что int a^xdx=a^x*ln(a).
т.е. I=int (e^x)*(a^x) ?
так это понял, вот как мы это получили "=> I = a^x * e^x/(1 + ln a)"
Автор: tig81 14.2.2009, 11:51
т.е. I=int (e^x)*(a^x)dx?
Ну вас, если я правильно поняла, интересовало, откуда логарифм взялся?! Или что?
так это понял, вот как мы это получили "=> I = a^x * e^x/(1 + ln a)"
Автор: PCGAMER2005 14.2.2009, 12:08
Да логарифм, и последнее "=> I = a^x * e^x/(1 + ln a)" - как мы это получили? выразили I ?
Автор: tig81 14.2.2009, 12:12
I = a^x * e^x/(1 + ln a)" - как мы это получили? выразили I ?
Да из равенства
I = a^x * e^x - ln a * I
Автор: Руководитель проекта 14.2.2009, 13:41
Потому что int a^xdx=
Int(a^x)dx=(a^x)/ln(a)+C
P.S. Понимаю, что это опечатка, а не ошибка.
Автор: tig81 14.2.2009, 14:45
Int(a^x)dx=(a^x)/ln(a)+C
P.S. Понимаю, что это опечатка, а не ошибка.
П.С. А что не очень понятно, что речь про производную?!
К чему там интеграл?! Автор: PCGAMER2005 14.2.2009, 19:36
Ну и ещё один вопрос)
ln a * I= int(a^x * e^x * ln(a))
верно?
Автор: tig81 14.2.2009, 20:00
Ну и ещё один вопрос)
ln a * I= int(a^x * e^x * ln(a))верно?
Уже даже боюсь...а то опять какие-то новые формулы выдумаю...
Если I= int(a^x * e^x)dx, то ln a * I= int(a^x * e^x * ln(a))dx
А зачем вам это?
Автор: PCGAMER2005 14.2.2009, 22:59
Уже даже боюсь...а то опять какие-то новые формулы выдумаю...
Если I= int(a^x * e^x)dx, то ln a * I= int(a^x * e^x * ln(a))dx
А зачем вам это?
Это для собственного успокоения)
Огромное спасибо, буду обращаться ещё)
Автор: tig81 15.2.2009, 6:51
Автор: PCGAMER2005 17.2.2009, 13:25
Все снова здравствуйте,
новую тему создавать не хотел, решил продолжать беседу в старой, так вот, собстевенно насчёт второго, вот что у меня вышло:
-2*ln^3(x)/3*sqrt(x^3) - 4*ln^2(x)/3*sqrt(x^3) - 16*ln(x)/9*sqrt(x^3) + 32/27*sqrt(x^3)
я не уверен, что это правильный ответ.
Рассматривая каждый раз последний интеграл, брал за U - логарифм, потом рассматривая следующие интегралы выносил числа за интеград:
-2/3 и -4/3, в результате я получил см.выше
И тут ещё несколько интегралов нарыл, решить которые, я не смог:
1)int cos(x) dx/(sin^2(x))^1/3, в низу корень третей степени от синуса в квадрате.
2)int x^2*dx/(x^6+4) - предполагаю, что надо упростить под станд.формулу int dx/(x^2+a^2), только запутался как.
3)int (x^2-1)/(x^2+1) - думаю надо как-нибудь выделить целую часть.
4)int x*arctg(x) dx - вариант -интегрирование по частям.
Подскажите пожалуйста.
Автор: граф Монте-Кристо 17.2.2009, 13:38
1)Перейдите к новой переменной t = sin(x);
2)Замена t = x^3
3)В числителе добавьте и вычтите единицу,потом выделите целую часть
4)По частям,потом можно подстановкой Эйлера.
Автор: PCGAMER2005 17.2.2009, 13:40
1)Перейдите к новой переменной t = sin(x);
2)Замена t = x^3
3)В числителе добавьте и вычтите единицу,потом выделите целую часть
4)По частям,потом можно подстановкой Эйлера.
А что насчёт первого, правильно я получил?
Автор: граф Монте-Кристо 17.2.2009, 13:47
По идее,так.
Автор: PCGAMER2005 17.2.2009, 13:59
1) А в числителе представить cos(x)=1-sin^2(x)?
И что дальше делать с (1-t^2)/t^2/3 ?
2)разве не на t=x^2 ? у меня же в числителе x^2
Далее t под диференциал и по формуле, а конце заменить t на x?
3)получаю int 1 - 2/(x^2+1) dx, а ответ x-2*arctg(x)+c
4)arctg(x)*x^2/2 - int x^2/(2+2*x^2) что можно дальше сделать?
Правильно или нет?
Автор: граф Монте-Кристо 17.2.2009, 14:26
Это что-то новое.
Не надо ничего представлять,просто сделайте замену t=sin(x), найдите dt, подставьте и будет Вам счастье.
Нет. x^2*dx = d(x^3)/3
Дальше Сами.
Выделите целую часть.
Прошу прощения,не нужно здесь Эйлера.
Автор: PCGAMER2005 17.2.2009, 15:36
с первым ступил)
значит так:
1)Ответ: 3*(sin(x))^1/3 + c
2)Ответ: 1/6*arctg(x^3/2) + c
3)Ответ: x-2*arctg(x)+c
вот только насчёт 4-ого немного не понял, подскажите пожалуйста
Автор: PCGAMER2005 17.2.2009, 16:46
насчёт 4-ого уже не надо, разобрался)
Спасибо, что помог с решением.
Автор: граф Монте-Кристо 17.2.2009, 17:37
На здоровье
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)