Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Дифференцирование (производные) _ Дифференцирование функции, заданных параметрически.
Автор: Vladi 4.2.2009, 17:10
Здравствуйте.
Дана задача:
Найти dy/dx и d^2 *y/dx^2 функции, заданной параметрически.
(x=1/cos^3 t,
(y=tg^3 t
dy/dx = y'от t/x'от t
Вычислим x'от t и y'от t:
x' от t =[(cos^3 t)^-1]'=-(cos^3 t)^-2 (cos^3 t)'=sin^3 t/cos^6 t
y' от t =[tg^3 t]'=1/cos^6 t
y' от x=(1/cos^6 t):(sin^3 t/cos^6 t)=1/sin^3 t
y' от x=dy/dx=1/sin^3 t (ответ)
d^2 y/dx^2=d/dx*(dy/dx)
d^2y/dx^2=(dy/dx)'от t/x'от t
(dy/dx)'от t=(1/sin^3 t)'=(sin^3 t)'/sin^6 t=cos^3 t/sin^6 t
d^2 y/dx^2=(cos^3 t/sin^6 t):(sin^3 t/cos^6 t)=cos^9 t/sin^9 t=ctg^9 t (ответ)
Проверьте, пожалуйста, верно ли моё решение.
Автор: Тролль 4.2.2009, 19:45
Не верно найдены частные производные функций х и у по t.
Автор: tig81 4.2.2009, 20:03
http://www.reshebnik.ru/solutions/2/15
Автор: Vladi 4.2.2009, 20:34
у меня в методичке написано одно, в решебнике совсем другое.
Я не могу найти у себя ошибку, подскажите ,пожалуйста.
Автор: tig81 4.2.2009, 20:46
Цитата(Vladi @ 4.2.2009, 22:34) 
у меня в методичке написано одно, в решебнике совсем другое.
что именно вас обескураживает?
Цитата
Я не могу найти у себя ошибку, подскажите ,пожалуйста.
Найти dy/dx и d^2 *y/dx^2 функции, заданной параметрически.
(x=1/cos^3 t,
(y=tg^3 t
dy/dx = y'от t/x'от t
Вычислим x'от t и y'от t:
x' от t =[(cos^3 t)^-1]'=-(cos^3 t)^-2 (cos^3 t)'=sin^3 t/cos^6 t
Найти dy/dx и d^2 *y/dx^2 функции, заданной параметрически.
(x=1/cos^3 t,
(y=tg^3 t
dy/dx = y'от t/x'от t
Вычислим x'от t и y'от t:
x' от t =[(cos^3 t)^-1]'=-(cos^3 t)^-2 (cos^3 t)'=sin^3 t/cos^6 t
как вычисляли производную?
Автор: Vladi 4.2.2009, 20:53
Цитата(tig81 @ 4.2.2009, 23:46)
что именно вас обескураживает?
Найти dy/dx и d^2 *y/dx^2 функции, заданной параметрически.
(x=1/cos^3 t,
(y=tg^3 t
dy/dx = y'от t/x'от t
Вычислим x'от t и y'от t:
x' от t =[(cos^3 t)^-1]'=-(cos^3 t)^-2 (cos^3 t)'=sin^3 t/cos^6 t
Цитата
как вычисляли производную?
У меня в методичке есть пример:
(x=1/sin2t
(y=ln tg t
x'по t=[(sin2t)^-1]'=-(sin2t)^-2 (sin2t)'=-cos2t(2t)'/sin^2 2t=-2cos 2t/sin^2 2t
y' по t= [ln tg t]'=(1/tg t)(tg t)'=ctg t/cos^2 t=1/sin t cos t=2/sin 2t
Я решал по аналогии с этим примером
Автор: tig81 4.2.2009, 21:01
Что по аналогии, то это хорошо. Но производную вы вычислили неправильно. Еще раз давайте по-шагово.
Автор: Vladi 4.2.2009, 21:21
Цитата(tig81 @ 5.2.2009, 0:01)
Что по аналогии, то это хорошо. Но производную вы вычислили неправильно. Еще раз давайте по-шагово.
давайте.x' по t=(1/cos^3 t)'=|если не по методичке, что у меня, а как я думаю,то|=((cos^3 t)^-1)'=(sin^3 t)^-2
Цитата(Vladi @ 5.2.2009, 0:13)
давайте.x' по t=(1/cos^3 t)'=|если не по методичке, что у меня, а как я думаю,то|=((cos^3 t)^-1)'=(sin^3 t)^-2
если это сложная функция, то
(1/cos^3 t)'=((cos^3 t)^-1)'=-(-sin^2 t)^-2 (t)'
Автор: tig81 4.2.2009, 21:23
Цитата(Vladi @ 4.2.2009, 23:13)
x' по t=(1/cos^3 t)'=|если не по методичке, что у меня, а как я думаю,то|=((cos^3 t)^(-1))'=(sin^3 t)^(-2)
((cos^3 t)^(-1))'=(-1)*((cos^3 t)^(-1-1))*(cos^3 t)'=...
Автор: Vladi 4.2.2009, 21:32
Цитата(tig81 @ 5.2.2009, 0:23)
((cos^3 t)^(-1))'=(-1)*((cos^3 t)^(-1-1))*(cos^3 t)'=...
=sin^3 t/cos^6 t
Цитата(Vladi @ 5.2.2009, 0:26)
=sin^3 t/cos^6 t
-sin^3 t(t)'/-(cos^3 t)^2=sin^3 t/(cos^3 t)^2
Цитата(Vladi @ 5.2.2009, 0:30)
=sin^3 t/cos^6 t
-sin^3 t(t)'/-(cos^3 t)^2=sin^3 t/(cos^3 t)^2
=tg^3 t/cos^3 t
Автор: tig81 4.2.2009, 21:46
Цитата
((cos^3 t)^(-1))'=(-1)*((cos^3 t)^(-1-1))*(cos^3 t)'=...
=-(cos^3 t)^(-2)*((cost)^3)'=(-1/cos^6t)*3(cost)^(3-1)*(cost)'=...
Автор: Vladi 4.2.2009, 21:53
Цитата(tig81 @ 5.2.2009, 0:46)
=-(cos^3 t)^(-2)*((cost)^3)'=(-1/cos^6t)*3(cost)^(3-1)*(cost)'=...
(-3(cos t)^2/cos^6 t)*(-sin t)(t)'=3sin t/cos^4 t
Автор: tig81 4.2.2009, 21:59
Цитата(Vladi @ 4.2.2009, 23:53)
...=3sin t/cos^4 t
Да, но я бы записывала бы по-иному:
(1/cos^3t)'=((cost)^(-3))'=-3*(cost)^(-4)*(-sint)=3sint/cos^4t
Автор: Vladi 4.2.2009, 22:09
Цитата(tig81 @ 5.2.2009, 0:59)
Да, но я бы записывала бы по-иному:
(1/cos^3t)'=((cost)^(-3))'=-3*(cost)^(-4)*(-sint)=3sint/cos^4t
Согласен, более логично
Цитата(Vladi @ 4.2.2009, 20:10)
Здравствуйте.
Дана задача:
Найти dy/dx и d^2 *y/dx^2 функции, заданной параметрически.
(x=1/cos^3 t,
(y=tg^3 t
dy/dx = y'от t/x'от t
Вычислим x'от t и y'от t:
x' от t =[(cos^3 t)^-1]'=-(cos^3 t)^-2 (cos^3 t)'=sin^3 t/cos^6 t
y' от t =[tg^3 t]'=1/cos^6 t
y' от x=(1/cos^6 t):(sin^3 t/cos^6 t)=1/sin^3 t
y' от x=dy/dx=1/sin^3 t (ответ)
d^2 y/dx^2=d/dx*(dy/dx)
d^2y/dx^2=(dy/dx)'от t/x'от t
(dy/dx)'от t=(1/sin^3 t)'=(sin^3 t)'/sin^6 t=cos^3 t/sin^6 t
d^2 y/dx^2=(cos^3 t/sin^6 t):(sin^3 t/cos^6 t)=cos^9 t/sin^9 t=ctg^9 t (ответ)
Проверьте, пожалуйста, верно ли моё решение.
y'от t=(tg^3 t)'=((tg t)^3)'=3((tg t)^(3-1))(tg t)'=3tg^2 t/cos^2 t
Автор: tig81 4.2.2009, 22:14
Цитата(Vladi @ 5.2.2009, 0:09)
Согласен, более логично
Цитата
y'от t
правильнее писать y'(t), а вот это как раз и читается "y'от t"
Цитата
=(tg^3 t)'=((tg t)^3)'=3((tg t)^(3-1))(tg t)'=3tg^2 t/cos^2 t
да
Автор: Vladi 4.2.2009, 22:29
Цитата(tig81 @ 5.2.2009, 1:14)
правильнее писать y'(t), а вот это как раз и читается "y'от t"
да
y'(x)=(3tg^2 t/cos^2 t):(3sin t/cos^4 t)=3tg^2 t *cos^4 t/cos^2 t *3sin t=sin t
(dy/dx)'(t)=(sin t)'=cos t(t)'=cos t
d^2 y/dx^2=cos t:3sin t/cos^4t=cos^5 t/3 sin t
Автор: tig81 4.2.2009, 22:35
Цитата(Vladi @ 5.2.2009, 0:29)
y'(x)=(3tg^2 t/cos^2 t):(3sin t/cos^4 t)=3tg^2 t *cos^4 t/cos^2 t *3sin t=sin t
(dy/dx)'(t)=(sin t)'=cos t(t)'=cos t
d^2 y/dx^2=cos t:3sin t/cos^4t=cos^5 t/(3 sin t)
Похоже на правду.
Автор: Vladi 4.2.2009, 22:39
Цитата(tig81 @ 5.2.2009, 1:35)
Похоже на правду.
=ctg t cos^4 t/3
Спасибо Огромное.
Автор: tig81 4.2.2009, 22:42
Пожалуйста! Приходите исчо.
Автор: Vladi 4.2.2009, 22:48
Цитата(tig81 @ 5.2.2009, 1:42)
Пожалуйста! Приходите исчо.
Обязательно, и с радостью
К текущему экзамену готов, сдам, буду готовится к следующему 
Автор: tig81 5.2.2009, 14:45
удачи!
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)