Версия для печати темы

Автор: berkut 24.1.2009, 18:04

1) y=ln(1+y'^2)

я делал так e^y=1+y'^2 => y'=sqrt(e^y-1) => dy/sqrt(e^y-1) = dx Как брать интеграл незнаю и правильно ли я начал?

2) x=y'sqrt(y'^2+1)

Вариантов решения нет...
Кто знает как решить, отпишите пожалуйста...

Автор: tig81 24.1.2009, 18:08

А откуда взяты эти примеры?

Автор: berkut 24.1.2009, 18:17

Незнаю откуда... На листке было просто написанно...

Автор: Руководитель проекта 24.1.2009, 18:42

Вроде правильно. Для вычисления интеграла сделайте замену sqrt(e^y-1)=t и все получится.

Автор: Dimka 24.1.2009, 18:54

для решения интеграла воспользуйтесь подстановкой e^y-1 = t^2
Ответ: 2arctg( sqrt(e^y-1 ) )

Во втором задании возведите обе части ур-я в квадрат.

Автор: tig81 24.1.2009, 18:57

Там, наверное, надо еще + - дописать.

Автор: berkut 24.1.2009, 19:19

Возвел x^2=y'^2(y'^2+1) как дальше решать?

Автор: tig81 24.1.2009, 19:32

У меня возник вопрос: а зачем?

Автор: Dimka 24.1.2009, 19:33

y'^4+y'^2-x^2=0
y'^2=p
Получаете квадратное уравнение
p^2+p-x^2=0
решаете его
p1,2=-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2
y'^2=-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2
y'=+- sqrt(-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2)
dy=+- sqrt(-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2) dx
дальше интегрируйте

Автор: berkut 24.1.2009, 19:49

Что то интеграл не могу взять забыл уже...
sqrt2 dy = +-sqrt (1+-sqrt(1-(2x)^2) dx
2dy=sqrt ( x+c+sin2x)
y=(sqrt ( x+c+sin2x))/2
Так ли?

Огромное сомнение на счет интегрирования...

Автор: berkut 24.1.2009, 20:02

1) y=ln(1+y'^2)

я делал так e^y=1+y'^2 => y'=sqrt(e^y-1) => dy/sqrt(e^y-1) = dx Как брать интеграл незнаю и правильно ли я начал?

Вроде правильно. Для вычисления интеграла сделайте замену sqrt(e^y-1)=t и все получится.

sqrt(e^y-1)=t => dt=2/sqrt(e^y-1) => 2dt/t^2=x+lnc => 2ln(e^y-1)=x+lnc =>

2ln(e^y-1) - lnc=x => (e^y-1)/c=x/2 => e^y-1=xc => y=ln(xc-1) Проверь если есть время... правильно ли я сосчитал... или нет... в dt сомнения...

Автор: Dimka 24.1.2009, 20:04

подстановка 1+4x^2 = t^2

Автор: berkut 24.1.2009, 20:08

Дорешайте по подробней пожалуйста.. Я совсем запутался в интегрировании...

Автор: Dimka 24.1.2009, 20:10

dy/sqrt(e^y-1) = dx

2arctg( sqrt(e^y-1 ) ) =x+C и все.

Если нужно выразить y, то y=ln { [tg( (x+C) /2)]^2 -1 }

Автор: Dimka 24.1.2009, 20:29

Да нет, уж лучше Вы сами. А то я Вам сейчас решу и нарушу правила форума.

Не забудьте, что
dy=-sqrt(-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2) dx
y=int [ -sqrt(-1/2 +- [sqrt(1+4x^2)]/2) ] dx - постороннее решение, которое не будет удовлетворять уравнению. Его нужно отбросить и не считать

Вам нужно будет посчитать только

y=int [sqrt(-1/2 +[sqrt(1+4x^2)]/2) ] dx
y=int [sqrt(-1/2 - [sqrt(1+4x^2)]/2) ] dx

Автор: tig81 24.1.2009, 21:12

Автор: V.V. 25.1.2009, 12:42

Метод решения уравнений типа x=f(y') и y=g(y') описан на стр. 25 http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf

Автор: berkut 25.1.2009, 17:45

Спасибо всем большое!