Версия для печати темы

Автор: Spegulo 13.1.2009, 12:54

Есть вот такая задачка:
Случайная величина X задана следующей функцией распределения
F(x) =
0 , при x <=-37/2
C*(4*x^2+148*x+1369/4), при -37/2< x <=37/2
1 , при x > 37/2

Требуется найти:
1) плотность вероятности случайной величины X;
2) величину с;
3) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;
4) вероятность попадания случайной величины X в интервал [- 37/4; 37/4];
5) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = X - 37.

Проверьте, пожалуйста, те ли формулы я использовал:
1) f(x)= производная от F(x), т.е.
f(x) =
0 , при x <=-37/2
8*C*х+148*С, при -37/2< x <=37/2
0 , при x > 37/2

2) Нахожу С из условия, что интеграл от (8*C*х+148*С) с пределами (-37/2;37/2) = 1.
Получил С=1/5476
Тогда f(x) =
0 , при x <=-37/2
2/1369*х + 1/37, при -37/2< x <=37/2
0 , при x > 37/2

3) М(х)= интеграл от (х * (2/1369 *х+ 1/37) ) с пределами (-37/2;37/2) = 37/6
D(х) = интеграл от (х^2 * (2/1369 *х+ 1/37) ) с пределами (-37/2;37/2) и отнять (М(х))^2 = 1369/18

4) Р(-37/4<=x<=37/4) = интеграл от (2/1369 *х+ 1/37) с пределами (-37/4;37/4) = 1/2

5) А вот тут я не уверен. Если y=х-37, то
М(у)= интеграл от (у * (2/1369 *х+ 1/37) ) с пределами (-37/2;37/2) = -185/6

Вопрос: может ли мат. ожидание быть отрицательной величиной?

D(у)= интеграл от (у^2 * (2/1369 *х+ 1/37) ) с пределами (-37/2;37/2) и отнять (М(у))^2 =
= 17797/9, приблизительно 1977,... Может ли быть такое?

Посмотрите, пожалуйста, может я не те формулы использовал? А может не те пределы интегрирования? Особенно интересует пункт 5).
Спасибо

Автор: malkolm 13.1.2009, 14:54

Во-первых, что-то не так в Вашем условии. Эта функция ни при каком С, кроме С=0, не является функцией распределения. У неё при приближении к точке -37/2 значения отрицательны. Может быть, константа там в скобках не делится на 4? Тогда всё нормально.


Можно, я повыпендриваюсь? Именно так и стоит делать, чтобы научить предмету составителя этой задачи. Поскольку нигде не указано ни что функция распределения непрерывна, ни что плотность распределения существует, ничего не мешает взять C=0. Тем более, что если 1369/4 - не опечатка, то ни при каких более С это не функция распределения Тогда указанная функция распределения соответствует распределению константы X = 37/2. M(X)=37/2, D(X)=0, P(-37/4 <= X <= 37/4) =0, M(X-37)=-37/2, D(X-37)=0. Жаль, что проверяющий будет смотреть лишь на ответы.



А лучше наоборот: сначала найти С из условия обязательной непрерывности функции распределения в точках -37/2 и 37/2. Если плотность есть => функция распределения должна быть непрерывна. Видите, а так вышло, что функция косячная, а мы этого даже не увидели, константа-то 1369/4 при дифференцировании ушла. Число С найдено верно.


Это верно.


Можно и так, просто при вычислении второго момента где-то напортачили с интегралом. Но почему бы просто не воспоьзоваться свойствами матожидания и дисперсии? Начать с того, что матожидание есть центр масс распределения. Если, скажем, всё распределение сидит на отрицательной полуоси, где его центр масс? Потом посмотреть свойства матожидания суммы, как дисперсия реагирует на сдвиг на константу. Иначе выходит, что мы получаем всё, что угодно и из чего угодно, и у нас нет ни одного средства оценить разумность результатов.

Например, M(X-37) = M(X) - M(37) = M(X) - 37 (найдите соответствующие свойства и выучите).
D(X-37) = ?

Автор: Juliya 13.1.2009, 16:41

господи, кто ж такие цифры придумывает... ужас...

Да, а кстати, в задачниках часто бывают ошибки с неправильной функцией распределения... Я уже не одну находила...

а можно ответить??

Автор: malkolm 13.1.2009, 17:20

Лучше погодим