Версия для печати темы

Автор: Spegulo 11.1.2009, 17:50

Добрый вечер, уважаемые
Есть такая вот задачка:

По каналу связи передается цифровой текст, содержащий любые комбинации из трех цифр: 1, 2, 3. Вероятности появления этих цифр связаны соотношением p1: p2: p3 = 2 : 1 : 1.
В канале присутствуют шумы, поэтому каждая переданная цифра принимается правильно с вероятностью q, а с вероятностью (1- q)/2 искажается, превращаясь в какую-либо другую цифру. Предполагается, что цифры искажаются независимо. Найти вероятность того, что было послано 123, если оказалось принятым 113.

Мы посчитали априорные вероятности всех вариантов сообщений (3^3=27 111, 112, ... 333).
Имеем для 111=> 0,5*0,5*0,5=0,125
123=>0,5*0,25*0,25=0,0313
и т.д.
Далее определили вероятности искажения каждого символа в сообщении, например
q*q*q для случая, когда все символы передались без искажений(2^3=8 вариантов)
На сколько мы поняли - это условные вероятности.
Получилось 27 априорных и 8 условных вероятностей.
Так ли это? А если так, то что делать дальше?

Подобных задач нигде нет, а по аналогии найти связи не получилось. Будем благодарны за любую помощь

Автор: malkolm 11.1.2009, 19:04

Воспользуйтесь формулой Байеса. Никакие события, кроме 27 гипотез о том, что было передано, и события A={принято 113}, тут не нужны.

Автор: Spegulo 12.1.2009, 11:55

Я понимаю, что задача на применение формулы Байеса, но проблема в том, что я не знаю, как к ней подойти, что куда подставлять
Я посчитал 27 вероятностей, но не могу это все связать
Помогите сообразить

Автор: Spegulo 12.1.2009, 12:29

И у меня еще вопросик:
Если событие А={принято 113}, то Р(А)=q^2*((1-q)/2). Так?

Автор: malkolm 12.1.2009, 14:52

В формуле Байеса есть события A, H_1, H_2, ...
Вычислите все вероятности, участвующие в этой формуле, и подставляйте. Не понимаю проблем.

Нет, не так. Вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности. Те же самые 27 гипотез там должны участвовать.

Например, какова P(A | H_1)?

Автор: venja 12.1.2009, 15:21

Может просто 1-q ?

Автор: Spegulo 12.1.2009, 15:30

Именно, что нет, это условие задачи, а не расчет.

Автор: Spegulo 12.1.2009, 15:52

Если А={передача 113}, то для первого случая (111)
P(H1) = 0.125
P(A/H1) = q * (1-q)/2 * (1-q)/2,
потом 112 Р(Н2)=0,0625 и Р(А/Н2)=q * (1-q)/2 * (1-q)/2
и так 27 раз, учитывая, исказился передаваемый символ или нет, и исходя из этого вычисляя P(A/Hi), так я понимаю?

Ну и полная вероятность - Р(А)= сумма (P(Hi)*P(A/Hi)).
Т.е. Р(А)=0,125*q * (1-q)/2 * (1-q)/2 + 0,0625*q * (1-q)/2 * (1-q)/2 + .... и т.д.
Так?

Автор: malkolm 12.1.2009, 17:28

Так.

2venja: неправильно принять цифру - это вместо неё услышать одну из двух других. Для каждой вероятность (1-q)/2.

Автор: Spegulo 12.1.2009, 17:34

А ведь и правда Я тоже теперь понял почему так За это тоже спасибо

Автор: Spegulo 13.1.2009, 12:21

Простите, туплю, еще вопрос по этой задаче:

Р(А)- посчитали по формуле полной вероятности, это я понял.
При вычислении Р(Н) я делал перебор, т.е.:
Р(Н_1 = 111)=
Р(Н_2 = 112) =
......
Р(Н_6 = 123)=
.... до Н_27
А дальше надо найти вероятность того, что было послано 123, если оказалось принятым 113.
Я так понимаю, что нужно подставить все в формулу Байеса

Т.е. итоговая вероятность будет вычисляться по формуле:

Р(Н_6/А)=(Р(Н_6)*Р(А/Н_6)) / Р(А).
Верно?
В смысле, мне нужно в формулу подставлять вероятности 6-ой гипотезы Н, т.к. Н_6={123}.
Я правильно понимаю?

Или все-таки использовать гипотезу Н_3={113} и, соответственно, в формулу подставлять Р(Н_3) и Р(А/Н_3)?

Автор: venja 13.1.2009, 14:12

Это не очевидно, если дословно читать условие.
Хотя другого объяснения нет.

Автор: savo4ek 26.1.2009, 17:39

здравствуйте,сейчас разбираюсь с решением подобной задачи и зашла в тупик, я не могу понять откуда береться 0,25?

Автор: Juliya 26.1.2009, 17:48

в сумме вероятности появления трех цифр равны 1 (т.к. одна из них обязательно появляется), а соотношение вер-тей показано выше: вер-ть появления 1 в 2 раза выше, чем 2 или 3. Значит, 1 появляется с вер-тью 0,5, а 2 или 3 - с вер-тью 0,25. Вы об этом спрашивали?

Автор: savo4ek 26.1.2009, 18:56

да) спасибо большое)

Автор: Нана1 10.12.2009, 15:31

Добрый вечер всем.
Поднимаю тему

По каналу связи передается закодированный текст с помощью 3 цифр: 1,2,3. Цифры используются одинаково часто. Из-за наличия шумов каждая передаваемая цифра принимается правильно с вероятностью 0.9 и с вероятностью 0.1 принимается за другую цифру. Найти вероятность того, что было передано сообщение 111, если принято 123.

H1 - передано 111
H2 - передано 112
...
H27 - передано 333

P(H1)=P(H2)=...=P(H27)=1/27

Событие A - принято 123
P(A|H1)=0.9*0.05*0.05
P(A|H2)=0.9*0.05*0.05
...
P(A|H27)=0.05*0.05*0.9

P(A)=(1/27)*(P(A|H1)+...+P(A|H27))

P(H1|A)=P(H1)*P(A|H1)/P(A)

Все так?
Три раза пересчитала. Получается, что P(A|H1)+...+P(A|H27)=1, 1/27 сокращаются.
В итоге P(H1|A)=0.9*0.05*0.05=0.00225

Но в задачнике есть ответ. 0.0025

В общем, вопрос, где я не права?
Или это опечатка (с надеждой... )

Автор: Juliya 10.12.2009, 16:07

приведите все расчеты.. У меня почему-то что-то среднее между ними получилось...

Автор: Juliya 10.12.2009, 16:19

ой, нет. пересчитала. тоже самое что у Вас получилось -0,00225. так что очепятка.

Автор: Нана1 10.12.2009, 16:27

H1 передано 111
H2 передано 112
H3 передано 113
H4 передано 121
H5 передано 122
H6 передано 123
H7 передано 131
H8 передано 132
H9 передано 133
H10 передано 211
H11 передано 212
H12 передано 213
H13 передано 221
H14 передано 222
H15 передано 223
H16 передано 231
H17 передано 232
H18 передано 233
H19 передано 311
H20 передано 312
H21 передано 313
H22 передано 321
H23 передано 322
H24 передано 323
H25 передано 331
H26 передано 332
H27 передано 333


P(H1)=P(H2)=...=P(H27)=1/27

Событие A - принято 123
P(A|H1)=0.9*0.05*0.05
P(A|H2)=0.9*0.05*0.05
P(A|H3)=0.9*0.05*0.9
P(A|H4)=0.9*0.9*0.05
P(A|H5)=0.9*0.9*0.05
P(A|H6)=0.9*0.9*0.9
P(A|H7)=0.9*0.05*0.05
P(A|H8)=0.9*0.05*0.05
P(A|H9)=0.9*0.05*0.9
P(A|H10)= 0.05*0.05*0.05
P(A|H11)= 0.05*0.05*0.05
P(A|H12)= 0.05*0.05*0.9
P(A|H13)= 0.05*0.9*0.05
P(A|H14)= 0.05*0.9*0.05
P(A|H15)= 0.05*0.9*0.9
P(A|H16)= 0.05*0.05*0.05
P(A|H17)= 0.05*0.05*0.05
P(A|H18)= 0.05*0.05*0.9
P(A|H19)=0.05*0.05*0.05
P(A|H20)=0.05*0.05*0.05
P(A|H21)=0.05*0.05*0.9
P(A|H22)=0.05*0.9*0.05
P(A|H23)=0.05*0.9*0.05
P(A|H24)=0.05*0.9*0.9
P(A|H25)=0.05*0.05*0.05
P(A|H26)=0.05*0.05*0.05
P(A|H27)=0.05*0.05*0.9

0.05*0.05*0.05 - повторяется 8 раз
0.05*0.05*0.9 - повторяется 12 раз
0.05*0.9*0.9 - повторяется 6 раз
0.9*0.9*0.9 - повторяется 1 раз

(0.05*0.05*0.05*8+0.05*0.05*0.9*12+0.05*0.9*0.9*6+0.9*0.9*0.9)=1
P(A)=(1/27)*1=1/27=0.03704

P(H1|A)=P(H1)*P(A|H1)/P(A)=1/27*0.05*0.05*0.9/(1/27)=0.05*0.05*0.9=0.00225




Спасибо!

Автор: Juliya 10.12.2009, 16:37

я конечно не считала все, и при подсчете числа повторов первый раз и ошиблась маленько - сколько комбинаций с одной правильной цифрой...