Версия для печати темы

Автор: Александр89 28.12.2008, 12:28

При данном технологическом процессе 84% всех сходящих с конвейера автозавода автомобилей – цвета «металлик». Найти вероятность того, что: а) из 5 случайно отобранных автомобилей будет 4 цвета «металлик»; б) из 290 проданных автомобилей будет не менее 230 цвета «металлик».

Р= 84%/100 = 0,84 – автомобили цвета «металлик».
m m n-m
Рn(m) = Cn p (1-p) , какие значения, мне нужна подставить и откуда их взять. А б) какая формула и какие значения там нужны.

Автор: tig81 28.12.2008, 12:41

Из условия. m=4, n=5, р вы нашли.

Как м6е кажется, формула таже, только теперь m=230, n=290.

П.С. Могу ошибаться.

Автор: Александр89 28.12.2008, 14:03

Во второй части мне сказали использовать приближенные формулы типа Лапласа, но как это сделать я вообще не понимаю.

а) у меня получилось так:
..m ...........5!....... 5*4!
Cn = 4! (5-4)! = 4!*1! = 5

Рn(m) = 5*0,844(1-0,84)5-4 = 2,4893568*0,16 = 0,39829709

Автор: tig81 28.12.2008, 14:26

Ну сначала, наверное, надо найти эти формулы.

честно говоря, нечитабельно. Запишите следующм образом, например, дробь 2/3.

Автор: Александр89 28.12.2008, 14:34

Cn = 5!/4! (5-4)! = 5*4!/ 4!*1! = 5
Рn(m) = 5*0,844(1-0,84)5-4 = 2,4893568*0,16 = 0,39829709

А как быть со второй частью?
Если по бернули, то
Cn = 290!/230!(290-230)!= 290!/230!*60!= что-то получится, большие факториалы

Автор: Juliya 28.12.2008, 14:56

найдите Интегральную теорему Муавра - Лапласа - приближение биномиального распределения к нормальному при большом числе испытаний. Она аналогична формуле вероятности попадания нормальной CВ в интервал, с учетом того. что мат. ожидание биномиального закона равно np=290*0,84, а дисперсия - npq.
Должен же у вас быть хоть какой-то учебник по ТВиМС, найдите в нем названную теорему. через нижнюю границу(230) найдите t1, через верхнюю(290) - t2, потом функцию Лапласа для этих значений и искомую вер-ть...

PS а в принципе Excel посчитает с помощью функции БИНОМРАСП для любых чисел... но не думаю, что от Вас требуется это...

Автор: Александр89 28.12.2008, 15:22

t1 = 230-(290*0,84)/корень из 0,16 = -34
t2 = 290-243,6/корень из 0,16 = 116
И как найти Ф(-34) и Ф (116)
q = 1-p = 1-0,84 = 0,16
А далее подставляю в формулу, так? Только как найти Ф?

ой кажется неправильно написал

Автор: tig81 28.12.2008, 15:22

ИЗ таблиц. Есть в конце почти каждого учебника по теории вероятности.

Автор: Juliya 28.12.2008, 15:25

откуда такой корень? в знаменателе - среднее квадратическое отклонение, корень из дисперсии, т.е. корень из 290*0,84*0,16

в любом учебнике по предмету в конце обязательно есть табличка значений функции Лапласа. На крайняк можно воспользоваться Excel и найти просто значения функции распределения в этих точках...

тема про функцию Лапласа http://www.prepody.ru/topic4120.html

Автор: Александр89 28.12.2008, 15:31

t1 = 230-(290*0,84)/корень из 38,976= -2,17841328= -2,18
t2 = 290-243,6/корень из 38,976 = 7,43223354 =7,43
Ф(-2,18) = - 0,9707
Ф(7,43) = а сколько здесь?

Автор: Juliya 28.12.2008, 15:33

ну вот! другое дело!
а Ф(7,43) =1, уже после t=5 её можно считать равной 1.
не забудьте, что функция Лапласа - нечетная! Не потеряйте этот минус!!

Автор: Александр89 28.12.2008, 15:40

Значит в итоге получается так:
Pn(230<=m<=290) = 1/2 [1+0,9707] = 0,98535
А первая часть, ход решения правильный?

Похоже на правду. СПАСИБО БОЛЬШОЕ))))

Автор: Juliya 28.12.2008, 15:42

да, кстати, забыла написать. что по Бернулли Вам надо было вычислять бы не одну такую вер-ть. а очень много, т.к. Вам надо найти вер-ть. что из 290 не менее 230 будет цвета металлик, т.е. P(230<=m<=290). Поэтому и применяется ИНТЕГРАЛЬНАЯ теорема Муавра-Лапласа, а не локальная. Т.к. нужна вер-ть попадания в интервал, а не в точку.


да, все верно! Молодец!

Автор: Александр89 28.12.2008, 15:46

Спасибо. Скоро буду спрашивать ещё одну задачку))

А вот и ещё одна, ПОСЛЕДНЯЯ)))
Для подготовки к экзамену студенту нужна определенная книга, которая может находиться в каждой из 4-х доступных студенту библиотек с вероятностью (0,39). Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа посещённых библиотек. Обход прекращается после получения нужной книги или посещения всех четырех библиотек. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Автор: Juliya 28.12.2008, 15:46

С(5,4)=5 - верно, хотя написана чушь. 4!*1! не равно 5.
С(5,4)=5!/(4!*1!)=5

а дальше непонятно написано..
д.б. Рn(m) = С(5,4)*p^4*q^1... похоже на правду вроде, проверьте арифметику

Автор: Александр89 28.12.2008, 15:49

Вот верное решение, ятак думаю.
Cn = 5!/4! (5-4)! = 5*4!/ 4!*1! = 5
Рn(m) = 5*0,84^4(1-0,84)^5-4 = 2,4893568*0,16 = 0,39829709

Автор: Александр89 28.12.2008, 16:25

А вот ещё одна задача. Может кто что посоветует. Последняя осталась.
-----------------------------------------------------------------------------------
Для подготовки к экзамену студенту нужна определенная книга, которая может находиться в каждой из 4-х доступных студенту библиотек с вероятностью (0,39). Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа посещённых библиотек. Обход прекращается после получения нужной книги или посещения всех четырех библиотек. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Автор: Juliya 28.12.2008, 16:42

была несколько раз недавно, поищите. составьте закон распределения и посчитайте вероятности по теореме умножения для независимых событий

Автор: Александр89 28.12.2008, 17:16

Да я видел, мой вопрос, только я не очень понимаю, как это сделать(

Автор: Juliya 28.12.2008, 17:33

Какие значения могут быть у дискретной случайной величины X - числа посещённых библиотек?

Что значит, к примеру, что х=1? чему равна вероятность этого события? а если 2? ну и т.д... пишите свои мысли...

Автор: Александр89 29.12.2008, 11:44

Ну я всё равно не понимаю, какаие формулы сюда подставлять?

Автор: malkolm 29.12.2008, 12:20

Никакие формулы никуда подставлять не надо. Сформулируйте по-русски, в каком случае происходит событие {X=1}. Что такое случайная величина Х, у Вас в задаче описано.

Автор: Александр89 29.12.2008, 13:08

Случайная величина Х - число посещённых библиотек из 4-х доступных. Х может принимать числовые значения х1 = 0, х2=1, х3=3, х4=3, х5=4. Для определения вероятностей рi рассмотрим соответствующие события: Событие Х=Х1=0 состоит в том, что из четырёх посещённых библиотек не было этой книги. Таким образом проводится 4 независимых испытания, состоящих в проверке наличии книги.
Р(А) = р=0,39=const; Р(А"штрих") = q=1-p = 1-0,39 = 0,61
Т.к. ипспытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, а n = 4- мало, то вероятность того, что из 4 -х посещённых библиотек не оказалось этой книги, т.е. вероятность Р4(0), определим по формуле Бернулм:

Правильный ход решения или нет ?

Автор: Александр89 29.12.2008, 13:35

Р(х=0)=0,13845841
Р(х=1)=0,35409036
Р(х=2)=0,33957846
Р(х=3)=0,14473836
Р(х=4)=0,02313441
Если всё сложить получается 1

Автор: Александр89 29.12.2008, 13:57

А числа нада округлять до скольких?

Автор: venja 29.12.2008, 15:02

До целых.
Шутка

Автор: malkolm 29.12.2008, 15:59

А как это X=0? Типа не посетил ни одной библиотеки? Это противоречит условию эксперимента. Всякие фантазии про электронные каталоги, телефон и т.п. средства "узнать не ходя" нужно исключить, их нет в условии.

Формула Бернулли тут ни при чём. Вы поняли условие? Ещё раз: человек идёт в 1-ю библиотеку. Если там есть книга, он её берёт и больше никуда не идёт. Если нет - идёт во вторую. И т.д.

Итак, что означает событие {X=1}?

Автор: Александр89 29.12.2008, 17:24

x=1, насколько я понимаю, это посещённая 1 библиотека. А можно просто опустить х=0, и дальше также считать, как я считал?

Автор: Juliya 29.12.2008, 18:06

нет. Вам уже сказали - схема Бернулли здесь не подходит. В схеме Бернулли в любом случае происходит n испытаний, в m из которых может произойти событие А. Например, 5 раз подбрасываете кубик, из них 2 раза может выпасть например двойка.
А у Вас совсем другое условие задачи - если книга найдена, обход прекращается, n испытаний не будет тогда проводиться...
Каждую вероятность Вы должны представить как вер-ть цепочки событий, в рез-те которой число посещенных биб-к равно такому-то.
Итак, если Х=1, что это значит? Это посещённая 1 библиотека.. Да. Что это значит? Что в 1-й же биб-ке оказалась нужная книга и он никуда больше не пошел. Чему равна вер-ть такого события?
А если Х=2 - что это значит? Какие события при этом должны произойти??

Автор: Juliya 29.12.2008, 19:14

То, что Вы пытались организовать - совсем другая случайная величина, которую можно назвать, например, Х - число библиотек, в которых есть нужная книга. Вот она принимает значения от 0 до 4 и вер-ти вычисляются по формуле Бернулли, т.к. чтобы узнать, в скольких библиотеках есть эта книга, нужно все их обойти. т.е. произвести все n испытаний.

а у Вас совсем другая СВ - число посещённых библиотек до нахождения нужной книги. при условии, что после нахождения книги он у нас никуда не идет. Понимаете разницу?

Внимательно читайте формулировку искомой случайной величины.

Автор: Александр89 30.12.2008, 9:09

Значит:
Х - число посещаемых библиотек.
Значения: 1, 2, 3, 4
Вероятности р = 0,39
Вводим события:
Х=1 - в первой библитотеке оказалась нужная книга, значит во 2, 3, 4 библиотеки он не пошёл
х=2 - во второй библитотеке оказалась нужная книга, в 1 библиотеке книги не оказалсь, в 3 и 4 библиотеку он неопшёл.
х=3 - в третьей библитотеке оказалась нужная книга, в 1 и 2 библиотеках книги не оказалось, а 4 библиотеку он непошёл.
х=4 - в четвёртой библиотеке оказалась нужная книга, в 1, 2, 3 библиотеках не оказалось нужной книги.

Автор: malkolm 30.12.2008, 10:34

Верно всё, кроме Х=4. Чему равна Х, если книги не оказалось нигде?
Теперь найдите P(X=1).

Автор: Александр89 30.12.2008, 11:10

Но там же не сказано, что книги может и не быть?

Значит, если как вы говорите, наверное будет вмпесто х=4, х=0?

Р(х=1) = Р4(1) = 4!/1!*3!*0,39^1*0,61^3= 0,35409036.
Так?

Автор: malkolm 30.12.2008, 14:00

Нет, не так ни то, ни другое. Никаких четырёх экспериментов не проводится. Событие {X=1} означает, что (Вы выше писали) нужная книга нашлась в 1-й библиотеке. Какова вероятность этого события? Заметьте, что остальные библиотеки тут никак не участвуют.

Ещё раз прочтите:
1) условие задачи - что за эксперимент проводится,
2) что такое Х
и ответьте, чему равно Х, если книги не оказалось ни в одной из библиотек.

То, что её может не оказаться, как раз есть в условии задачи, только Вы этого не видите. Если бы это было невозможно, то события, означающие наличие книги в каждой библиотеке, не были бы независимыми.

Автор: malkolm 30.12.2008, 19:13

Такое ощущение, что Александр89 ни меня, ни Juliya просто не слышит, либо ждёт, когда мы, потеряв терпение, нарисуем ему ответ. Хотя всё, что могли, мы уже просто по буквам разжевали...

Автор: venja 30.12.2008, 20:14

Я тоже с нарастающим интересом и восхищением отслеживаю уровень вашего терпения!