Образовательный студенческий форум [Русская версия Invision Power Board]

Автор: Ребус 29.11.2008, 16:17

Помогите пожалуйста разобраться с задачей. Не знаю с какой стороны к ней подступиться...
Условие:
Время T между двумя сбоями ЭВМ распределено по показательному закону с параметром
V: f(t) = Ve^{-vt}, (t>0).
Решение определённой задачи требует безотказной работы машины в течение времени t. Если за время t произошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через время t после начала решения задачи.
Найти:
Рассматривается случайная величина Q - время, за которое задача будет решена.
Найти её закон распределения и математическое ожидание (среднее время решения задачи).
Из условия задачи вроде следует, что функция распределения случайной величины Q будет вложена (если можно так выразиться) в фунцию, которая дана по условию V: f(t) = Ve^{-vt}, (t>0). А чего дальше делать не знаю.

Автор: malkolm 29.11.2008, 18:25

Давайте поймём, как устроено время Q.
1) Начинаем решать задачу. Если время решения t оказалось меньше, чем время до сбоя T_1, задача решена и Q=t.
2) Если время решения t оказалось больше, чем время до сбоя T_1, в момент t это обнаруживается и начинается новое время T_2 с тем же распределением (в силу отсутствия памяти у показательного распределения). Если t оказалось меньше T_2, то задача решена и Q=2t. Если t > T_2, то процесс продолжается.
Можно продолжить: после k-1 такой неудачи - когда t > T_1, ..., t > T_{k-1}, начинается снова решение задачи и отмеряется снова время до сбоя. Если t < T_k, то задача решена за время Q=k*t. Если нет, процесс продолжается.

Это поможет найти и закон распределения Q, и его матожидание. Начните с выяснения того, какие значения принимает величина Q.

Автор: Ребус 30.11.2008, 13:28

Цитата(malkolm @ 29.11.2008, 21:25)

Давайте поймём, как устроено время Q.
1) Начинаем решать задачу. Если время решения t оказалось меньше, чем время до сбоя T_1, задача решена и Q=t.
2) Если время решения t оказалось больше, чем время до сбоя T_1, в момент t это обнаруживается и начинается новое время T_2 с тем же распределением (в силу отсутствия памяти у показательного распределения). Если t оказалось меньше T_2, то задача решена и Q=2t. Если t > T_2, то процесс продолжается.
Можно продолжить: после k-1 такой неудачи - когда t > T_1, ..., t > T_{k-1}, начинается снова решение задачи и отмеряется снова время до сбоя. Если t < T_k, то задача решена за время Q=k*t. Если нет, процесс продолжается.

Это поможет найти и закон распределения Q, и его матожидание. Начните с выяснения того, какие значения принимает величина Q.

Т.е. случайная величина Q принимает следующие значения:
t,2t,3t,4t,........
Всего значений n. (n стремится к бесконечности)
Значит, время Q распределено по закону Пуассона:
p_n=P{Q=n}=alpha^n * exp{-alpha}/n!
(n=t,2t,3t,...), alpha > 0 - постоянная.

Вроде закон распределения нашли. Теперь, чтобы найти математическое ожидание надо найти плотность. А плотность это производная от функции распределения.
Вот и получается что нужно найти производную от
F(x)=alpha^x*exp{-alpha}/x!

Но как-то производная неберётся. Кажется, где-то ошибка.

Автор: malkolm 30.11.2008, 15:42

Нет, время Q распределено не по закону Пуассона. Рассмотрите событие {Q=kt} - выше оно полностью описано. Найдите его вероятность.

P.S. У дискретных распределений нет и не может быть никакой плотности. Плотность бывает только у абсолютно непрерывных распределений. Как искать и чему равны математические ожидания стандартных распределений, следует прочесть в любой литературе по ТВ, начиная со своих лекций.

Автор: Ребус 30.11.2008, 16:02

Цитата(malkolm @ 30.11.2008, 18:42)

Нет, время Q распределено не по закону Пуассона. Рассмотрите событие {Q=kt} - выше оно полностью описано. Найдите его вероятность.

Насколько я понимаю вероятность будет равна 1/k. Т.к. k- количество проделанных шагов (сколько всего исходов).
Неужели тогда функция распределения будет выглядеть так: F(x)=1/x ? Слишком просто как-то.

Автор: malkolm 30.11.2008, 17:14

Вероятность не может быть равна 1/k, т.к. сумма по всем возможным k таких вероятностей равна бесконечности.
Вы поняли описанную в задаче модель? Что означает событие {Q = t*k}? Когда оно случается? Попробуйте его записать, используя величины t, T_1, T_2, ...

P.S. Зачем понадобилась функция распределения? Вы посмотрели, что такое дискретная случайная величина и как находится её матожидание, дисперсия и т.п.? Для полноты картины - и как выглядят функции распределения у дискретных величин.

Автор: Ребус 30.11.2008, 17:42

Цитата(malkolm @ 30.11.2008, 20:14)

Вероятность не может быть равна 1/k, т.к. сумма по всем возможным k таких вероятностей равна бесконечности.
Вы поняли описанную в задаче модель? Что означает событие {Q = t*k}? Когда оно случается? Попробуйте его записать, используя величины t, T_1, T_2, ...

P.S. Зачем понадобилась функция распределения? Вы посмотрели, что такое дискретная случайная величина и как находится её матожидание, дисперсия и т.п.? Для полноты картины - и как выглядят функции распределения у дискретных величин.

Событие {Q=t*k} наступит после (k-1) неудач. При этом t > T_1, ..., t > T_{k-1}.
T_1, T_2 и т.д. отличаются, т.е. время между сбоями не константа. закон по которому время между сбоями меняется - показательный.
Про вероятность события {Q=t*k} можно только сказать, что это p_k. Точнее не знаю как.
Математическое ожидание дискретной случайной величины Q определяется суммированием p_i*x_i, где i меняется от 1 до k

Автор: malkolm 30.11.2008, 21:34

Событие {t > T_1, ..., t > T_{k-1}} означает, что k-1 раз случились неудачи, ничего не говорит про k-й раз, и поэтому не равно событию {Q=k*t}. Пробуйте ещё раз. Что такое событие {Q=k*t}?

Автор: Ребус 2.12.2008, 19:48

Цитата(malkolm @ 1.12.2008, 0:34)

Событие {t > T_1, ..., t > T_{k-1}} означает, что k-1 раз случились неудачи, ничего не говорит про k-й раз, и поэтому не равно событию {Q=k*t}. Пробуйте ещё раз. Что такое событие {Q=k*t}?

{Q=k*t} это когда {T_k > t > T_1, ..., t > T_{k-1}}

но как определить вероятность решения задачи за время Q=t или Q=k*t я не представляю.

Всего исходов - бесконечность, 1 на бесконечность ерунда какая-то(

Автор: malkolm 3.12.2008, 4:55

Теперь верно, только лучше записать {Q=t*k}={T_1 < t, T_2 < t, ..., T_{k-1} < t, T_k > t}.
Случайные величины T_i - независимые случайные величины с показательным распределением, данным в условии. Как найти вероятность события {T_1 < t}? А вероятность события {T_2 < t}? А вероятность события {T_k > t}? А как из них собрать вероятность P{T_1 < t, T_2 < t, ..., T_{k-1} < t, T_k > t}?

Автор: Ребус 5.12.2008, 15:37

Цитата(malkolm @ 3.12.2008, 7:55)

Теперь верно, только лучше записать {Q=t*k}={T_1 < t, T_2 < t, ..., T_{k-1} < t, T_k > t}.
Случайные величины T_i - независимые случайные величины с показательным распределением, данным в условии. Как найти вероятность события {T_1 < t}? А вероятность события {T_2 < t}? А вероятность события {T_k > t}? А как из них собрать вероятность P{T_1 < t, T_2 < t, ..., T_{k-1} < t, T_k > t}?

Кажется то, что нужно:
вероятность того, что T_i примет значение, меньшее, чем t, называется функцией распределения вероятностей случайной величины T_i.
F(t)=P{T_i<t} а по условию
F(t)=v*e^(-vt) -значит это вероятность того что T_i < t
Если объединить T_1<t,T_2<t,...,T_{k-1}<t получится
P{T_1<t,T_2<t,...,T_{k-1}<t} = (k-1)*v*e^(-vt)
А вероятность того, что P={T_k>1} = 1 - v*e^(-vt) - противоположное тому, если бы T_k<t
т.е.
вероятность P{T_1 < t, T_2 < t, ..., T_{k-1} < t, T_k > t} = 1+(k-2)*v*e^(-vt)
Так вроде правильно?

Автор: malkolm 5.12.2008, 17:22

Сплошные проблемы.
1) F(t) не равна v*e^(-vt). Это плотность этому равна, а не функция распределения. Вычислите по плотности функцию распределения.

2) Почему Вы складываете вероятности? События T_1<t, T_2<t, ..., T_{k-1}<t не объединяются, а пересекаются: они все вместе, одновременно должны происходить.

Автор: Ребус 5.12.2008, 20:27

Цитата(malkolm @ 5.12.2008, 20:22)

Сплошные проблемы.
1) F(t) не равна v*e^(-vt). Это плотность этому равна, а не функция распределения. Вычислите по плотности функцию распределения.

2) Почему Вы складываете вероятности? События T_1<t, T_2<t, ..., T_{k-1}<t не объединяются, а пересекаются: они все вместе, одновременно должны происходить.

да( косяки.
1) функция распределения это первообразная от плотности f(t)=v*e^(-vt), значит,
F(t)=-e^(-vt)

2) перемножаем вероятности, получим P{Q=kt} = (-e^(-vt))^(k-1) * (1+e^(-vt)).

Автор: malkolm 6.12.2008, 15:07

Вероятность не может быть равна - e^{-vt}...

Функция распределения - это не первообразная плотности. В теории вероятностей не бывает неопределённых интегралов.

Автор: Ребус 7.12.2008, 12:08

Цитата(malkolm @ 6.12.2008, 18:07)

Вероятность не может быть равна - e^{-vt}...

Функция распределения - это не первообразная плотности. В теории вероятностей не бывает неопределённых интегралов.

Точно, вы правы.
Чтобы найти функцию распределения по плотности, нужно вычислить интеграл от -бесконечности до t от плотности ve^(-vt). А т.к. по условию у нас t>0, значит, интегрируем от 0 до t. У меня получилось, что F(t) = 1 - e^(-vt) Правильно???

Автор: malkolm 7.12.2008, 19:24

Правильно. Значит, теперь вероятность события {Q=kt} равна (1-e^{-vt})^{k-1} * e^{-vt}. А если буквой p обозначить p=e^{-vt}, получится
P(Q=kt)=P(Q/t = k)=p*(1-p)^{k-1}, k=1,2,3,...
Найдите теперь в своих лекциях: как называется распределение, которое получилось у величины Q/t, и чему равно его матожидание.

Автор: Ребус 7.12.2008, 20:44

Цитата(malkolm @ 7.12.2008, 22:24)

Правильно. Значит, теперь вероятность события {Q=kt} равна (1-e^{-vt})^{k-1} * e^{-vt}. А если буквой p обозначить p=e^{-vt}, получится
P(Q=kt)=P(Q/t = k)=p*(1-p)^{k-1}, k=1,2,3,...
Найдите теперь в своих лекциях: как называется распределение, которое получилось у величины Q/t, и чему равно его матожидание.

Похоже, что это геометрическое распределение с параметром p. Вроде выходит, что математическое ожидание будет равно 1/p.

Автор: malkolm 7.12.2008, 20:46

Верно. Но это матожидание Q/t. А матожидание Q?

Автор: Ребус 7.12.2008, 22:39

Цитата(malkolm @ 7.12.2008, 23:46)