Помогите пожалуйста доказать сходимость последовательности x[n].
УСЛОВИЕ:
Последовательность ограничена сверху и удовлетворяет неравенству
x[n+1]-x[n]>=-1/(n^2).
Додумался и решил! Кому интересно- вот решение:
Вот наше условие:
x_(n+1) - x_n >= -1/(n*n)
из него следует, что
x_(n+1) - x_n >= -1/(n*(n-1)) = 1/n - 1/(n-1)
или
x_(n+1) - 1/n >= x_n - 1/(n-1)
Возьмем новую последовательность
y_(n) = x_n - 1/(n-1)
Вопрос о ее сходимости - такой же, как о сходимости x_n, потому что они различаются на сходящуюся последовательность. y_n тоже ограничена сверху, и, в отличие от x_n, она неубывает. Значит, y_n сходится, а значит и x_n тоже
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)