Версия для печати темы

Автор: crazymaster 20.12.2007, 16:36

Последнее задание осталось из системы линейных уравнений. Тема топика вроде подходит, спрошу тут.
Дана система
x'= x -y+4exp(4t)
y'=-x+y+2
У меня вопрос по ходу решения
вот если по алгоритму решать, то сначала надо решить однородную систему, а матрица этой системы
| 1 -1|
|-1. 1| равна 0. то это что значит? Дальше какой ход решения, искать собст. векторы и числа?
то первое собст. чило получается 0 что ли? а второе =2

Автор: tig81 20.12.2007, 18:47

Если я правильно понимаю, то вы применяете метод Эйлера решения систем с постоянными коэффициентами. Т.е. в этом случае решение ищем в виде: x=k1*exp(lx), y=k2*exp(lx),l - лямбда. Тогда после подстановки в однородную систему, последняя приводится к виду:
(l-1)k1+k2=0
k1+(l-1)k2=0
чтобы решения были нетривиальными, надо чтобы определитель этой системы =0, т.е.
|l-1 1|
|1 l-1|=0 - характеристическое уравнение исходной системы, l - собственные значения и корни этого уравнения.

Автор: crazymaster 20.12.2007, 19:57

Нет, я думал искать решения методом вариации произвольных постоянных.
хм..так, ну вот для такой матрицы
| 1 -1|
|-1. 1| собственный вектор (-1,1) и соответствующее собст число 2.
это так?
тогда получается решение исходной системы ищем в виде
|x| . . . |-exp(2t)|
| .|=k1 | . . . . . .| и все что ли?
|y| . . . | exp(2t)|

Автор: tig81 20.12.2007, 22:50

А однородную как?

Автор: crazymaster 21.12.2007, 7:04

Но это ведь неоднородная система
x'= x -y+4exp(4t)
y'=-x+y+2

Автор: tig81 21.12.2007, 7:20

Ну метод вариации произвольной постоянной для диффернциального уравнения применяется так. Решаем однородную систему, а затем варируем произвольную постоянную. Ну по-аналогии с этим, думала, что и для систем ДУ также.
Честно говоря, как решать системы таким методом я не знаю, точнее просто никогда не решала.


а как вы находили собственные значения? Потому что у меня их получилось два: 0 и 2.

Автор: crazymaster 21.12.2007, 7:33

Ну да принцип такой. Меня просто смутило то, что по ходу решения надо находить собственные числа и векторы, а тут эта система получается зависимая и вот тут загвоздка получилась.) Лан придется у препода спросить, хотя это долгая история.


я вот насчет нуля не знаю, а какой тогда вектор отвечающий числу 0 взять? любой:))

Автор: tig81 21.12.2007, 11:36

Я не знаю как связать следующее с вашим решением, но далее расскажу как находить собственные значения и собственные ыекторы (извините, что буду писать, а вы это знаете). Пусть задана матрица А, тогда чтобы найти собственные значения данной матрицы мы составляем матрицу А-lE, l- лямбда. Находим опредилитель это матрицы и приравниваем его нулю. Корни полученного характеристического уравнения как раз и будут собственными значениями заданной матрицы.
Для нахождения сосбственных векторов, соотвествующих собственному значанию l[i], решаем однороную СЛАУ (A-lE)x=0, полученные х[i]-координаты собственного вектора (для их нахождения необходимо решить ФСР).
Простите,но я просто не вижу откуда вы находите собственные значения . Поэтому все расписала так подробно.