Версия для печати темы

Автор: Bulkin 5.11.2008, 19:42

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений
lX1 + X2 - 3X3 +2X4=0 \
{2X1 - 3X2 + X3 - X4=0 -- это система
l4X1 - X2 - 5X3 + 3X4=0 /

матрица:
l 1 1 -3 2 l
l 2 -3 3 -1 l
l 4 -1 -5 3 l
после преобразований получилась
l 1 1 -3 2 l
l 0 -5 9 -5 l
l 0 0 -2 0 l
ранг равен 3
соответственно размерность пространства решений этой системы равна 1

дальше у меня получается система
l X1 + X2 -3X3 + 2X4=0
{-5X2 + 9X3 - 5X4=0
l-2X3=0X4
и все дальше не знаю что делать

Автор: tig81 5.11.2008, 19:47

ступенчатый вид такой, ранг правильно

http://www.reshebnik.ru/solutions/10/3

Автор: Bulkin 5.11.2008, 21:52

продолжение...
пологаем что Х3=С1, Х4=С2
тогда
l X1=6/5*X3 - X4
{X2=9/5*X3 - X4
lX3=C1, X4-C2

Векторы столбцы
[6/5, 9/5, 1, 0] и [-1, -1, 0, 1] образуют базис.
Конец?!

Автор: tig81 6.11.2008, 16:46

х3 у вас равно нулю (из последнего уравнения).
n=4 - кол-во переменных, r=3 - ранг, тогда n-r=1 - одна свободная переменная. Пусть х4=С....

Автор: Bulkin 6.11.2008, 16:51

да, я рассматривал такой вариант, но тогда получается только 1 вектор. он образует базис?

Автор: tig81 6.11.2008, 17:25

а почему нет?

Автор: Bulkin 6.11.2008, 17:39

ок, большое спс

Автор: tig81 6.11.2008, 17:48

пожалуйста!

Автор: 3po 15.11.2009, 9:15

Помогите пожалуйста.
Нужно найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

3х1 -2х2 +х3 -4х4 =0
2х1 -3х2 -2х3 +х4 =0
4х1 -х2 +4х3 -9х4 =0

Вот к чему я сегодня пришла:
3 -2 1 -4
2 -3 -2 1
4 -1 4 -9

3 -2 1 -4
0 -1,66 -2,67 3,68
0 1,66 2,67 -3,68

3 -2 1 -4
0 -1,66 -2,67 3,68
0 0 0 0

полагаем х3=с1, х4=с2
3х1 -2х2 = -с1 +4с2
-1,66х2 = 2,67с1 -3,68с2
х3 = с1
х4 = с2

3х1 -2*(-2,67/1,66с1 +3,68/1,66с2) = -с1 +4с2
х2 = -2,67/1,66с1 +3,68/1,66с2
х3 = с1
х4 = с2

х1 = -7/4,98с1 +14/4,98с2
х2 = -2,67/1,66с1 +3,68/1,66с2
х3 = с1
х4 = с2

Немогли бы Вы кто-нибудь меня проверить???

И что мне дальше делать? какой ответ-то будет?

Автор: 3po 16.11.2009, 19:21

Отсюда
3 -2 1 -4
0 -1,66 -2,67 3,68
0 0 0 0
видим, что ранг равен 2, значит свободных переменных будет две С1 и С2, так?

Получаем:
векторы [-1.41 -1.61 1 0] и [2.81 2.22 0 1] - образуют базис
а размерность равна 2
Так?

Я не прошу проверять меня досконально, просто гляньте меня кто-нибудь, ответ:
два вектора и размерность 2?

Автор: 3po 17.11.2009, 15:59

Все. Больше немогу, мозг взрывается. Начиталась теории, насмотрелась примеров и вообще в голове все перемешалось. Кто-нибудь пожалуйста посмотрите, у меня правильно выводы?

Автор: Julia 18.11.2009, 1:58

Делайте все вычисления в обыкновенных дробях. Получите точный ответ.
(-7,-8,5,0) и (14,11,0,5).
Если вы умножите на 5 координаты вами полученных векторов, то получите близкие числа.

Автор: 3po 18.11.2009, 10:49

Спасибо большое. А в остальном верно?
Базис два вектора и размерность 2?