Версия для печати темы

Автор: Nefrit 3.11.2008, 21:10

Необходимо найти центр масс тела, ограниченного z=sqrt(x^2+y^2) и z=3

считаю вначале массу тела: M=SSSdV, по области V; M=SSdsSdz где первые два интеграла по области Д, а последний: вверху 3 внизу sqrt(x^2+y^2). Затем перехожу к полярной системе координат - x=3*cos(t) y=3*sin(t) и в итоге у меня получается что обьем, тоесть масса отрицательная. Так и должно быть?

Еще с одним примером возникли вопросы: Необходимо вычислить S(sqrt(x^2+y^2))ds по области L, где L: x^2+y^2-4*x=0 (y>=0). В этом случае я даже не знаю что надо делать - посчитать площадь (в том случае должно быть два интеграла), расчитать как массу кривой (в этом случае должно быть не по ds a по dL).

Заранее спасибо!

Автор: Тролль 3.11.2008, 21:20

1) Нет конечно. Масса всегда должна быть положительна.
Переход к полярной системе координат происходит по другому: x = r * cos t, y = r * sin t.
Так как x^2 + y^2 <= 9 => 0 <= r <= 3, 0 <= t <= 2 * pi.
(x^2 + y^2)^(1/2) <= z <= 3 => r <= z <= 3
Тогда
M = int (0 2 * pi) dt int (0 3) r dr int (r 3) dz = 9 * pi, если я не ошибся.
2) Там ds и написано область L ?

Автор: Nefrit 3.11.2008, 21:33

Большое спасибо!



вот именно!

Автор: Тролль 3.11.2008, 21:42

Ну если я правильно понял, что интеграл там одинарный. Значит надо считать, что L - это дуга окружности.
Тогда переходим к полярным координатам, параметризуем дугу окружности и находим ds.

Возможно должно получиться 16.

Автор: Nefrit 3.11.2008, 22:09

перехожу к полярным: x=2*cos(t); y=2*sin(t); r=8*cos(t); dr=-8sin(t); ds=sqrt(4*cos(t)^2+16*sin(t)^2); пределы от 2 до 4, и почемуто не выходит((((((((
пошёл я наверное спать, спасибо большое за помощь! классный форум, сразу ответят и подскажут

Автор: Тролль 3.11.2008, 22:38

Странный переход к полярным координатам.
int (x^2 + y^2)^(1/2) ds, L: x^2 + y^2 - 4 * x = 0 (y>=0).
Нужно параметризовать кривую L. Переходим к полярным координатам:
x = r * cos t, y = r * sin t
Подставляем в уравнение кривой:
r^2 * cos^2 t + r^2 * sin^2 t - 4 * r * cos t = 0
r^2 - 4 * r * cos t = 0 => r = 4 * cos t.
Найдем пределы по t:
r >= 0 => 4 * cos t >= 0 => cos t >= 0
y >= 0 => r * sin t >= 0 => sin t >= 0
sin t >= 0, cos t >= 0 => 0 <= t <= pi/2.
r = 4 * cos t => x = 4 * cos^2 t, y = 4 * sin t * cos t = 2 * sin 2t.
Тогда
ds = (((4 * cos^2 t)')^2 + ((2 * sin 2t)')^2)^(1/2) dt =
= ((4 * 2 * cos t * (-sin t))^2 + (2 * 2 * cos 2t)^2)^(1/2) dt =
= ((-4 * sin 2t)^2 + (2 * 2 * cos 2t)^2)^(1/2) dt =
= (16 * sin^2 2t + 16 * cos^2 2t)^(1/2) dt = 4 dt
Переходим к вычислению интеграла.
Надо заметить, что так как x^2 + y^2 - 4 * x = 0 => x^2 + y^2 = 4 * x =>
=> x^2 + y^2 = 4 * 4 * cos^2 t => x^2 + y^2 = 16 * cos^2 t
int (x^2 + y^2)^(1/2) ds = int (0 pi/2) (16 * cos^2 t)^(1/2) * 4 dt =
= 4 * int (0 pi/2) 4 * |cos t| dt = 16 * int (0 pi/2) cos t dt = 16 * (sin t)_{0}^{pi/2} =
= 16 * (sin pi/2 - sin 0) = 16.
Вот 16 и получилось.

Автор: Nefrit 4.11.2008, 6:22

Спасибо большое Тролль!!!! Вы меня очень выручили

Автор: Nefrit 4.11.2008, 17:42

Тролль, жили бы вы ближе - обязательно выставился бы))))) еще раз спасибо! всё сдал на пятёрочку!