Версия для печати темы

Автор: Bobson 3.11.2008, 11:47

Нужна помощь в решении 4 задач, объем тела- ? (z=4-x^2-y^2, z=0, x^2+y^2-2*y=0);
вычислить двойной интеграл (x^2+y^2)dxdy, если x=0, y=0, x+y=2;
вычислить работу силы F(xy, (x+y)) по дуге y=x^2 от A(0,0) B(1,1);
площадь поверхности конуса x^2+y^2=z^2, расположенную в 1 октанте и ограниченную плоскостью x+y=1

Автор: Тролль 3.11.2008, 12:54

Задачки вроде несложные.

Автор: Bobson 3.11.2008, 13:00

и тем неменее есть варианты?

Автор: Тролль 3.11.2008, 13:27

1) Перейти к цилиндрическим координатам.
2) Нарисовать область интегрирования, а затем проинтегрировать
3) Здесь надо вычислить криволинейный интеграл.
4) Здесь выразить z, а затем по формуле
S = int int (1 + (dz/dx)^2 + (dz/dy)^2)^(1/2) dxdy

Автор: Руководитель проекта 3.11.2008, 20:11

Наши http://www.prepody.ru/ipb.html?act=boardrules не пробовали читать?

Автор: Bobson 4.11.2008, 9:58

Подскажите пожалуйста что такое 1 октанта. И вопросик, как можно действовать в 3 вопросе с вычислением силы.

Автор: Тролль 4.11.2008, 11:47

1 октанта - это x >= 0, y >= 0, z >= 0.
3) F (x * y, x + y) по дуге y = x^2 от A(0,0) B(1,1)
Ну вроде бы
A = int x * y dx + (x + y) dy
y = x^2 => x = t, y = t^2, 0 <= t <= 1.
A = int (0 1) (t * t^2 dt + (t + t^2) d(t^2)) =
= int (0 1) (t^3 + 2 * t * (t + t^2)) dt =
= int (0 1) (3 * t^3 + 2 * t^2) dt
Вот, вроде бы так.

Автор: Bobson 4.11.2008, 12:09

Можно еще обратиться за помощью, никак не могу понять получается нечто непонятное, дело в 1 вопросе, график получился, цилиндрические координаты не понимаю, а "как обычно" по dy получается невозможным выразить yвхода, yвыхода получился корень(4-x^2), что я делаю не так?


Получается, если я все правильно понял, то 1 октанта, это 1/4 конуса x^2+y^2=z^2

Автор: Bobson 4.11.2008, 12:21

Ужасно извиняюсь, кто-нибудь может посоветовать конкретную литературу или ссылки на данные задачи?

Автор: tig81 4.11.2008, 12:24

http://www.reshebnik.ru/solutions/7/

Автор: Тролль 4.11.2008, 12:33

Переходим к цилиндрическим координатам:
x = r * cos fi, y = r * sin fi, z = z => x^2 + y^2 = r^2
0 <= z <= 4 - x^2 - y^2 => 0 <= z <= 4 - r^2
Область интегрирования по r и fi будет x^2 + y^2 - 2 * y <= 0
r^2 - 2 * r * sin fi <= 0 => r - 2 * sin fi <= 0 => r <= 2 * sin fi
Получаем, что 0 <= r <= 2 * sin fi
Так как 0 <= r <= 2 * sin fi => sin fi >= 0 => 0 <= fi <= pi.
Получаем, что
V = int (0 pi) dfi int (0 2 * sin fi) r dr int (0 4 - r^2) dz



На форуме в разделе интегралы (на последних 6-7 страницах) разобрано большое количество примеров, похожих на вашы.

Автор: Bobson 4.11.2008, 12:37

Если кому не сложно проверьте пожалуйста во 2 ом задании ответ: 8/3 квадратных единиц

Автор: Тролль 4.11.2008, 12:41

У меня тоже получилось 8/3. Только квадратные единицы лучше убрать.

Автор: Bobson 4.11.2008, 13:11

Спасибо, такая задачка, x=корень(2y-y^2) и x^2+y^2=2^2, точка пересечения 1,1; выразил 2 ур-ние x=корень(4-y^2);

int(0;1,1)dy int(0;корень(2y-y^2)dx + int(1,1; корень(2))dy int(0;корень(4-y^2))dx

правильно составил уравнение?

Автор: Тролль 4.11.2008, 13:19

Нет, неправильно. Здесь лучше к полярным координатам перейти.

Автор: Bobson 4.11.2008, 13:45

Спасибо, разобрался в 1 примере, вроде как все понял

а формула всегда int() df int() rdr?

Автор: Bobson 4.11.2008, 14:12

если верно посчитал в 1 задаче 5,5Пи

Автор: Тролль 4.11.2008, 14:37

Ну если переходим к полярным координатам, то да.
У меня получилось 5/2 * pi.

Автор: Bobson 4.11.2008, 14:51

ок,попробую найти ошибку, если знаешь объясни пожалуйста, чем отличается F(xy;(x+y)) по дуге параболы y=x^2 от прямой, при координатах A(0,0) B(1,1)?

Автор: Bobson 4.11.2008, 15:57

Спасибо, но в этих примерах пригодились только с переходом на полярные координаты

Автор: Ярослав_ 4.11.2008, 16:13

Прямая проходящая через точки A(0,0) B(1,1)? Постройте прямую и параболу на этом промежутке [0,1] и увидите отличие. Пути разные получатся...

Автор: Тролль 4.11.2008, 19:47

Разные пути и разные работы тоже.

Автор: Bobson 5.11.2008, 11:11

Т.е. в поиске работы необходимо будет подставлять вместо у не x^2, а (=х-2 ) к примеру, я правильно понял?


Спасибо, действительно ошибся в расчетах =)

Автор: Bobson 5.11.2008, 12:31

помогите понять, S = int int (1 + (dz/dx)^2 + (dz/dy)^2)^(1/2) dxdy, это записывается, при условиях x^2+y^2=z^2 в 1 октанте и x+y=1

s=int(0,1)int(0,1)(1 + (dz/dx)^2 + (dz/dy)^2)^(1/2) dxdy
выражаю z=корень(x^2+y^2)

тогда
s=int(0,1)int(0,1)(1 + (корень(x^2+y^2)/dx)^2 + (корень(x^2+y^2)/dy)^2)^(1/2) dxdy?

отсюда
s=int(0,1)int(0,1)(1 + (x/корень(x^2+y^2)) + (y/корень(x^2+y^2)))^(1/2) dxdy?

Автор: Тролль 5.11.2008, 12:43

Пределы интегрирования по y не такие.
dz/dx и dz/dy найдены правильно, но по формуле их надо еще и в квадрат возвести.

Автор: Bobson 5.11.2008, 13:22

точно,упустил из виду,т.е. у меня получилось
s=int(0,1)int(0,1)(1 + (x^2/(x^2+y^2)) + (y^2/(x^2+y^2)))^(1/2) dxdy

но почему по dy не такие пределы, если не ошибаюсь в 1 октанте пределы по dx и dy будут одинаковые, разве нет? Почему? Если не сложно объясните пожалуйста

Автор: Тролль 5.11.2008, 13:24

Теперь нужно сложить полученные дроби.
Там еще условие есть x + y = 1.
Получаем по х и у: х >= 0, у >= 0, х + у = 1.

Автор: Bobson 5.11.2008, 13:29

получается корень из 2 dxdy

тогда, получается int(0,1)dx int(0,1-x)корень(2)dy

если не ошибаюсь ответ корень(2)/2, проверьте пожалуйста, такой или нет?

Автор: Тролль 5.11.2008, 13:34

Да, похоже, что действительно 2^(1/2)/2

Автор: Bobson 5.11.2008, 13:46

Спасибо


есть еще один вопросик, почему в общем виде (dz/dx)^2 и (dz/dy)^2
потому что мы ищем площадь?

Автор: Bobson 5.11.2008, 14:01

можно попросить пару примеров ?

Автор: Тролль 5.11.2008, 14:42

Почему (dz/dx)^2? Ну потому что формула для вычисления площади поверхности такая.
Пару примеров чего?

Автор: Bobson 15.11.2008, 12:37

спасибо, нашел, что искал, может ли быть что в 4 задаче 1/2*2^0,5 не правильный ответ?