Версия для печати темы

Автор: tikho 3.11.2008, 15:59

Найти центр тяжести однородного тела,ограниченного указанными поверхностями с помощью тройного интеграла?????
x^2 + y^2 + z^2 =2z, z=1 (z>= 1)

Автор: Тролль 3.11.2008, 17:26

Надо перейти к цилиндрическим координатам.

Автор: tikho 4.11.2008, 10:56

ну это то понятно, я не знаю как выглядят графики всех этих поверхностей - следовательно не могу определить пределы интегралов......помогите пожалуйста!

Автор: Ярослав_ 4.11.2008, 11:20

Я эти задания видел на портале естественных наук, Вам там все поверхности показали в рисуночках, одну поверхность синеньким цветом, другую красненьким, ещё зелёненьким. Красота...
x^2 + y^2 + z^2 =2z - это уравнение сферы, только её центр не в начале координат О(0,0,0)
x^2+y^2+z^2-2z=0
x^2+y^2+z^2-2z+1=1
x^2+y^2+(z-1)^2=1
значит сфера "поднята" по оси z на одну единицу вверх, значит центр находится в точке A(0,0,1)
z=1 это плоскость, "рассечь" надо мысленно эту сферу этой плоскостью, получиться окружность.

Автор: tig81 4.11.2008, 11:25

действительно... рисунки отменные

Автор: Тролль 4.11.2008, 11:43

Да рисунки в принципе и не нужны. Без них можно решить.

Автор: tig81 4.11.2008, 11:48

можно, но tikho ждет, что за него решат.

Автор: Тролль 4.11.2008, 11:56

А что у Вас получается, tikho? Какие пределы интегрирования?

Автор: tikho 8.11.2008, 12:51

я решил сделать эту задачу в цилиндрич. системе координат:

для налача надо найти массу:

m=S df S rdr S dx

пределы интегрирования
df: от 0 до 2*pi
rdr: от 0 до 1
dx: от r^2 до 1
S-это интеграл

првильно???

Автор: Тролль 8.11.2008, 13:18

по fi и r правильно.
Там dx или всё-таки dz?

Автор: tikho 8.11.2008, 14:03

я пололожил фигуру на бок и ось x у меня направлена в право,а ось z в верх,поэтому dx

Автор: Тролль 8.11.2008, 14:30

x^2 + y^2 + z^2 =2z, z=1 (z>= 1)
x^2 + y^2 + 1 = 2 => x^2 + y^2 = 1
область интегрирования по х и у
При переходе к цилиндрическим координатам получаем, что
0 <= fi <= 2 * pi, 0 <= r <= 1.
Из уравнения:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1
(z - 1)^2 = 1 - x^2 - y^2
z - 1 = (1 - x^2 - y^2)^(1/2)
z = 1 + (1 - x^2 - y^2)^(1/2)
Получаем, что
1 <= z <= 1 + (1 - r^2)^(1/2)
Значит
M = int (0 2pi) int (0 1) int (1 1+(1-r^2)^(1/2)) r dfi dr dz

Автор: tikho 8.11.2008, 14:43

спасибо!