Версия для печати темы

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 18:00

Совсем я что-то запуталась в пределах. Никогда с ними не было проблем.
Осталось решить два примера мне не пользуясь правилом Лопиталя:
1. lim 7x ( ln (6x+7) - ln(6x-8))
при x→∞

2. lim (2 arctg 4x)/(4 ln cos (3x))
при x→0

1. Первый пример мучала, мучала и получила ответ 1. Определенность в этом примре (бесконечность * 0).
В скобке привела по правилу к дроби, то есть получила:
ln (6x+7)
________
ln(6x-8)
Потом по тем же правилам 7х - это получается степень, и возводим то что получилось в скобке в степень 7х.
Но, ln(6x+7)=6x, а ln(6x-8)=6x...
Получила
lim (6x)^7x/(6x)^7x
при x→∞

И все это получается равно 1 или я совсем не туда ушла в решении этого примера?

2. Во втором пределе точно знаю, что в числителе получится 8х, а вот что делать со знаменателем совсем не пойму... cos(3x) заменять? Или нет?

Если не составит труда, подскажите, пожалуйста... Заранее спасибо!

Автор: Тролль 2.11.2008, 18:36

1. lim 7x ( ln (6x+7) - ln(6x-8))
при x→∞
2. lim (2 arctg 4x)/(4 ln cos (3x))
при x→0

1. lim (x->00) 7x * (ln (6x + 7) - ln (6x - 8)) = lim (x->00) 7x * ln ((6x + 7)/(6x - 8)) =
= lim (x->00) 7x * ln (1 + 15/(6x - 8)) = lim (x->00) ln (1 + 15/(6x - 8))^(7x) =
= ln (lim (x->00) (1 + 15/(6x - 8))^(7x).
Дальше через замечательный предел.
2. cos (3x) = 1 - 2 * sin^2 (3x/2)
Тогда
ln (cos (3x)) = ln (1 - 2 * sin^2 (3x/2)) можно заменить на -2 * sin^2 (3x/2),
а это на -2 * (3x/2)^2.

Автор: tig81 2.11.2008, 18:37

Числитель вы все верно сделали, заменили эквивалентной бесконечно малой.
ln cos (3x)=ln(1+cos (3x)-1)~cos (3x)-1.
cos(3x)=4(сosx)^3-3cosx=cosx(4(cosx)^2-3)

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 18:51

Все, господа, я в ступоре Все поняла кроме "Дальше через замечательный предел"
Видимо мне нельзя долго мозг напрягать
надо степень получить (6х-8)/15 ? Верно?

Автор: tig81 2.11.2008, 18:58

верно

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 19:01

Так, выделила такую степень. Получила
lim ((ln 1+15/(6x-8))^(6x-8)/15)^15*7x/(6x-8)
при x→∞
Так?
А потом получается
lim е^15*7х/(6х-8)?
при x→∞

Или не так?

Автор: tig81 2.11.2008, 19:05

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 19:12

Все таки голова ещё чуток соображает... Но не совсем хорошо... Тогда получается надо в степени от х избавиться?! Или уже не надо и ответ будет бесконечность?

Автор: tig81 2.11.2008, 19:15

lim е^15*7х/(6х-8)=е^lim(x→∞)(15*7х/(6х-8)).
при x→∞

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 19:22

Ой, а это как получилось? Я что-то или пьяная или вспомнить не могу пределы, спустя 3 года....
Там останется тогда е^35/2?

Автор: tig81 2.11.2008, 19:25

Да, только логарифм потеряли.

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 19:28

Где? О_о Там щё и ln должен оставаться? А как перешли от предела е в степени, к е в степени предел дроби?

Автор: tig81 2.11.2008, 19:31

просмотрите записи сначала, там было, что предел логарифма равен пределу от подлогарифмической функции.

тоже по правилу: lim(x->a)e^f(x)=e^(lim(x->a)f(x))

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 19:33

Ой, увидела где логарифм посеяла

не помню такое
и тогда ответ будет ln e ^ 35/2 ?

Автор: tig81 2.11.2008, 19:34

и если все это упростить, то ответ будет...

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 19:38

1?
Наругайте меня, если я не права!

Автор: tig81 2.11.2008, 19:41

, типа ругаю.

ln e ^ 35/2 =(35/2)lne=(35/2)log[e]e=35/2.

Автор: Тролль 2.11.2008, 19:42

ln e^(35/2) = 35/2

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 19:45

Теперь дошло. Спасибо, что типа наругали! Очень часто помогает прийти в чувства... Спасибо, что помогли разобраться с этим примером! Очень благодарна Сейчас буду второй пытаться понять Извините, если своей бестолковостью замучала вас!

Автор: tig81 2.11.2008, 19:49

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 19:55

Тут не могу понять
~cos (3x)-1
И вторую строку тоже не понимаю как из cos(3x) получили 4(сosx)^3-3cosx=cosx(4(cosx)^2-3)

Автор: Тролль 2.11.2008, 19:59

Мой способ, по-моему, проще.

Автор: tig81 2.11.2008, 20:04

при x->0 ln(1+x)~x
Это формула, связывающая косинус тройного угла с косинусами одинарного



не спорю, но я "увидела" другое решение

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 20:05

Не могу понять
"можно заменить на -2 * sin^2 (3x/2)"
или на
"а это на -2 * (3x/2)^2"

Автор: Тролль 2.11.2008, 20:08

Это я Елене Савельевой говорю, думаю, что мое решение будет понятнее.

Как в числителе получилось 8x?

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 20:11

ну там 2 arctg 4x, а arctg x = х, значит 2 arctg 4x= 2*4х=8х... Вроде так. Или не так?

Автор: tig81 2.11.2008, 20:13

ясно

Автор: Тролль 2.11.2008, 20:16

Только не arctg x = x, а arctg x ~ x.
Аналогично при x -> 0 ln (1 + x) ~ x.
Так как -2 * sin^2 (3x/2) -> 0, то
ln (1 - 2 * sin^2 (3x/2)) ~ -2 * sin^2 (3x/2)

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 20:24

Тогда получается

Lim 8x/(-2 * sin^2 (3x/2)) ?
при x->0

или нет? я ничего не потеряла?

А синус то потом куда дели? О_о По формуле? Или я опять пьяная? Наругайте меня!

Автор: Тролль 2.11.2008, 20:26

sin x ~ x при x -> 0
3x/2 -> 0 => sin (3x/2) ~ 3x/2

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 20:34

э, сижу торможу.... Тогда что в знаменателе останется 4*3х/2 ?!

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 20:50

нет... в знаменателе тогда будет 4*(-2*(3х/2)^2)

правильно?

Автор: Тролль 2.11.2008, 20:53

Нет. Там sin^2 (3x/2), это можно заменить на (3x/2)^2.

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 20:57

А потом после упрощений и возведения в квадрат останется
Lim 4x/9x^2
при x->0
Да?

Только ещё минус потеряла...

Автор: Тролль 2.11.2008, 20:59

Нет.

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 21:01

ответ 0?

ээээ. я лох

Почему нет?

Автор: Тролль 2.11.2008, 21:04

Неправильно преобразовали.

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 21:10

Вот... у нас ведь ещё и 4 пере логарифмом по условию стоит...
тогда числитель равен 8х
а знаменатель 4*(-2 * (3x/2)^2).
Сократим.
Остается
lim х/ (-(3x/2)^2)
при x->0

Так? А после возведения в квадрат получим
lim х/ (-(9x^2/4))
при x->0

Потом перевернем знаменатель:
lim 4х/ (-9x^2)
при x->0

Так?

Автор: Тролль 2.11.2008, 21:24

Да, теперь правильно. Минус забыли.

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 21:25

Где? Опять минус забыла? Ответ ведь 0 получается?

Автор: Тролль 2.11.2008, 21:27

Нет, не 0.

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 21:30

Или Вы хотели сказать что я тогда минус потеряла, а теперь все правильно?!

Автор: Тролль 2.11.2008, 21:30

Да.

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 21:32

А я думала, что потом дулим на большую степень... и получается:
lim (4x/x^2)/(-9x^2/x^2)=0/-9=0....
при x->0

Автор: Тролль 2.11.2008, 21:38

-4 * x/(9 * x^2) = -4/(9 * x).
Тогда при x -> 0 получаем, что предел равен ...

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 21:52

Точно! Тогда получается бесконечность?! Я перепутала чуть-чуть... Теперь правильно?

Автор: Тролль 2.11.2008, 22:00

Да. Бесконечность.

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 22:08

А почему минус бесконечность?

у меня пример есть простенький:
-3/4 Lim(x->0)1/x=бесконечнось...

Автор: Тролль 2.11.2008, 22:10

Просто бесконечность.

Автор: ЕленаСавельева 2.11.2008, 22:12

Спасибо большое! Извините, что уморила Вас и изрядно помучала... Ещё раз огромное спасибо!!!

Автор: Ярослав_ 3.11.2008, 9:41

Один раз прокололся с буковкой "У", а такие значочки ~ каким образом вставляете?

Автор: Тролль 3.11.2008, 10:22

Второй раз)
Этот значок стоит на букве "ё", если конечно она есть на клавиатуре.

Автор: Ярослав_ 3.11.2008, 10:28

Да уж...
2:0 В Вашу пользу.

Автор: tig81 3.11.2008, 17:39