Образовательный студенческий форум [Русская версия Invision Power Board]

Автор: Dee 29.10.2008, 22:18

Всем доброе время суток.

Дали задачу:
есть точки А (-1,2,1); B(3,2,1); C(-1,4,1); D(-1,2,7)

Нужно найти объем фигуры (тела), записать тройной интеграл и решить его.

С подобной задачей сталкиваюсь впервые. В университете на практике подобное не решали.

Попробывал разобраться - по идеи нужно построить примерное изображение фигуры исходя из точек A,B,C,D, только вот получается какой-то бред. Предположим, что изображение построено.

Что делать дальше? Каким образом в этом случае ищется объем? Как найти пределы интегрирования и записать интеграл?

Всем заранее спасибо за любые конкретные и наводящие ответы!

Автор: tig81 29.10.2008, 22:26

Цитата(Dee @ 30.10.2008, 0:18)

Всем доброе время суток.

Дали задачу:
есть точки А (-1,2,1); B(3,2,1); C(-1,4,1); D(-1,2,7)

Нужно найти объем фигуры (тела), записать тройной интеграл и решить его.

С подобной задачей сталкиваюсь впервые. В университете на практике подобное не решали.

Попробывал разобраться - по идеи нужно построить примерное изображение фигуры исходя из точек A,B,C,D, только вот получается какой-то бред. Предположим, что изображение построено.

Что делать дальше? Каким образом в этом случае ищется объем? Как найти пределы интегрирования и записать интеграл?

Всем заранее спасибо за любые конкретные и наводящие ответы!

Больше в условии ичего не сказано?

Автор: Dee 29.10.2008, 22:43

Цитата(tig81 @ 30.10.2008, 1:26)

Больше в условии ичего не сказано?

Увы, нет.

Правда на листочке с условиями есть еще такие записи:
1) A = 4x(z+1)i - y(x+2)j
2) A = 3yi + 4xj + 2zk
i, j, k - векторы.

Но преподаватель говорил, что эти записи не имеют отношения к вышенаписанной задаче.

Автор: tig81 29.10.2008, 22:55

Цитата(Dee @ 30.10.2008, 0:43)

Увы, нет.

мне ничего толкового в голову не приходит, как все это можно связать с тройным интегралом. Если бы задание имело вид: найти объем пирамиды, вершинами которой служат данные точки, то я бы посоветоали найти смешанное произведение векторов АВ, АС, АD. Но и сюда никак интеграл не приткнуть.

Цитата

Правда на листочке с условиями есть еще такие записи:
1) A = 4x(z+1)i - y(x+2)j
2) A = 3yi + 4xj + 2zk
i, j, k - векторы.
Но преподаватель говорил, что эти записи не имеют отношения к вышенаписанной задаче.

Это скорее всего к теме "Векторный анализ", нахождение потока и циркуляции или что-то подобное. Но это только предроложение.

Автор: Тролль 30.10.2008, 6:02

Цитата(Dee @ 30.10.2008, 1:18)

есть точки А (-1,2,1); B(3,2,1); C(-1,4,1); D(-1,2,7)

Решение будет следующим.
Несложно заметить, что уравнениями плоскостей ACD, ABD, ABC будут, соответственно,
x = -1, y = 2, z = 1. Эти три плоскости будут взаимно перпендикулярны.
Поэтому, если представить себе пирамиду, то можно заметить, что вычисление объема сводится к простому интегралу.
z будет меняться от 1 до уравнения плоскости BCD.
А по х и по у пределы получим из треугольника ABC.
Уравнением плоскости BCD будет: 3x + 6y + 2z - 23 = 0=> z = 23/2 - 3/2 * x - 3 * y.
Тогда 1 <= z <= 23/2 - 3/2 * x - 3 * y.
Теперь рассмотрим треугольник АВС. Все три точки находятся в плоскости z = 1.
С учетом этого уравнением прямой AB будет y = 2, прямой AC x = -1, прямой BC x + 2y = 7.
(y = 7/2 - x/2)
Поэтому пределы по х и у будут следующими:
-1 <= x <= 3, 2 <= y <= 7/2 - x/2
Или наоборот
2 <= y <= 4, -1 <= x <= 7 - 2 * y.
Получаем, что
V = int (2 4) dy int (-1 7-2y) dx int (1 23/2 - 3/2 * x - 3 * y) dz

Автор: tig81 30.10.2008, 8:36

Цитата(Тролль @ 30.10.2008, 8:02)

Решение будет следующим.
Несложно заметить, что уравнениями плоскостей ACD, ABD, ABC будут, соответственно,
x = -1, y = 2, z = 1. Эти три плоскости будут взаимно перпендикулярны.
Поэтому, если представить себе пирамиду, то можно заметить, что вычисление объема сводится к простому интегралу.
z будет меняться от 1 до уравнения плоскости BCD.
А по х и по у пределы получим из треугольника ABC.
Уравнением плоскости BCD будет: 3x + 6y + 2z - 23 = 0=> z = 23/2 - 3/2 * x - 3 * y.
Тогда 1 <= z <= 23/2 - 3/2 * x - 3 * y.
Теперь рассмотрим треугольник АВС. Все три точки находятся в плоскости z = 1.
С учетом этого уравнением прямой AB будет y = 2, прямой AC x = -1, прямой BC x + 2y = 7.
(y = 7/2 - x/2)
Поэтому пределы по х и у будут следующими:
-1 <= x <= 3, 2 <= y <= 7/2 - x/2
Или наоборот
2 <= y <= 4, -1 <= x <= 7 - 2 * y.
Получаем, что
V = int (2 4) dy int (-1 7-2y) dx int (1 23/2 - 3/2 * x - 3 * y) dz

все оказывается банально просто

Автор: Dee 24.12.2008, 23:53

Хм.., думал, что пост о благодарности всё-таки опубликовался. Но почему-то его тут нет.

Тролль, tig81 большое спасибо! Решение очень помогло.

Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Интегралы _ Найти объем фигуры