Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Интегралы _ Помогите разобраться
Автор: draconchic 25.10.2008, 14:40
Помогите определить приделы интегрирования
Задача
Вычислите массу пластины ограниченного кривыми:
x^2+y^2=9
x^2+y^2=16
y=x
y=sqrt(3)*x
если плотность равна 6/sqrt(25-x^2-y^2)
Я несовсем понимаю как их определять
1. m=int(3,4)dx int(x,sqrt(3)*x)6/sqrt(25-x^2-y^2)dy где int(3,4) - интеграл от 3 до 4
или
2. m=int(3/2,sqrt(8))dx int(x,sqrt(3)*x)6/sqrt(25-x^2-y^2)dy
а также если не сложно подскажите как взять 2 часть придела
int(x,sqrt(3)*x)6/sqrt(25-x^2-y^2)dy=
6*int(x,sqrt(3)*x) (25-x^2-y^2)^(-1/2)dy
а дальше как?
Автор: Тролль 25.10.2008, 14:58
Нужно перейти к полярным координатам: x = r * cos fi, y = r * sin fi.
Тогда 3 <= r <= 4, pi/4 <= fi <= pi/3
Автор: draconchic 25.10.2008, 15:09
а как определили приделы для fi
и если так делать то интеграл будет выглядеть так:
int (3,4)dr int(pi/4 , pi/3) r*6/sqrt(25-r^2*(cos fi)^2-r^2*(sin fi)^2 dfi
и равен будет pi/2
Автор: draconchic 25.10.2008, 16:01
можно еще вопросик
Найти момент инерции части поверхности z^2=x^2+y^2 (0<=z<=2) относительно оси Ох, если плотность равна sqrt(2)
Здесь надо использовать сферические координаты?
и интеграл будет выглядеть так?
Ix=int(0,2pi)dfi int(0,pi)d(тета) int (0,2) (r^2-cos fi)*sqrt(2)*r*sin fi * sin (тета) dr
Автор: Тролль 25.10.2008, 18:41
а как определили приделы для fi
и если так делать то интеграл будет выглядеть так:
int (3,4)dr int(pi/4 , pi/3) r*6/sqrt(25-r^2*(cos fi)^2-r^2*(sin fi)^2 dfi
и равен будет pi/2
Надо нарисовать область интегрирования и посмотреть. В данном случае это будет часть кольца.
Да, у меня получилось pi/2.
Автор: Тролль 25.10.2008, 18:55
можно еще вопросик
Найти момент инерции части поверхности z^2=x^2+y^2 (0<=z<=2) относительно оси Ох, если плотность равна sqrt(2)
Здесь надо использовать сферические координаты?
и интеграл будет выглядеть так?
Ix=int(0,2pi)dfi int(0,pi)d(тета) int (0,2) (r^2-cos fi)*sqrt(2)*r*sin fi * sin (тета) dr
Если не ошибаюсь, то I_x = I_xy + I_xz, где
I_xy = int int int ro * z^2 dx dy dz, I_xz = int int int ro * y^2 dx dy dz.
Пределы интегрирования:
0 <= z <= 2, 0 <= r <= 2, 0 <= fi <= 2 * pi.
Надо перейти к цилиндрическим координатам:
x = r * cos fi, y = r * sin fi, z = z.
Автор: draconchic 26.10.2008, 4:33
подскажите еще пожалуйста
Задание 1
Вычислить массу дуги кривой 4у=х расположенной в первой четверти и отсеченной прямой у=1/4 если плотность равна sqrt(1+x^6)
m=int(0,1)dx int(x/4,1/4)sqrt(1+x^6)dy
я дорешал
1/4int(0,1)sqrt(1+x^6)dx - 1/4int(0,1)x*sqrt(1+x^6)dx
и застрял немогу взять интеграл подскажите как дальше решать
Задание 5
Найти объем тела ограниченного поверхностями
x^2+y^2-4y=0
y=z/2
y=z
Сдесь совсем незнаю как расставить приделы интегрирования
Предпологаю что надо переходь в другие координаты
Автор: Dimka 26.10.2008, 6:56
.........
1/4int(0,1)sqrt(1+x^6)dx - 1/4int(0,1)x*sqrt(1+x^6)dx
и застрял немогу взять интеграл подскажите как дальше решать
Подстановка
1+x^6=t^2
После преобразований внести t^2 под знак дифференциала
Автор: Тролль 26.10.2008, 7:12
Не уверен, что в задании 1 применена правильная формула. Это формула для вычисления площадь пластинки, а здесь говорится о кривой.
В задании 5 надо перейти к полярным координатам.
Автор: Dimka 26.10.2008, 7:36
подскажите еще пожалуйста
Задание 5
Найти объем тела ограниченного поверхностями
x^2+y^2-4y=0
y=z/2
y=z
Сдесь совсем незнаю как расставить приделы интегрирования
Предпологаю что надо переходь в другие координаты
Перейдите к цилиндрическим координатам x=r*cos f, y=r*sin f, z=z
Пределы интегрирования 0<=f<=Pi, 0<=R<=4*sin f, r*sin f <=z<=2*r*sin f
Вроде объем 8Pi получается.
Автор: draconchic 26.10.2008, 7:39
если так то получается объем будет считатся не по 3му а по 2му интегралу?
и если я правельно сделал до должно получится так
int (0,2pi)dfi int(0,4sin fi) r*dr
так?
Формулу не подскажите я посмотрел в книгах есть только такая
m = intint pds где p-плотность
Автор: Dimka 26.10.2008, 7:42
если так то получается объем будет считатся не по 3му а по 2му интегралу?
и если я правельно сделал до должно получится так
int (0,2pi)dfi int(0,4sin fi) r*dr
так?
Формулу не подскажите я посмотрел в книгах есть только такая
m = intint pds где p-плотность
Вот так
int (0,pi)dfi int(0,4sin fi) r*dr int(rsin fi, 2rsin fi) dz
p.s fi меняется от 0 до Pi , а не от 0 до 2Pi
Автор: draconchic 26.10.2008, 7:45
Вот так
int (0,pi)dfi int(0,4sin fi) r*dr int(rsin fi, 2rsin fi) dz
это уже не полярные координаты а цилиндрические
Автор: Dimka 26.10.2008, 7:51
это уже не полярные координаты а цилиндрические
Ну а я о каких координатах вверху написал?
Автор: draconchic 26.10.2008, 8:03
в итоге должно получится 24п/3 ?
Не уверен, что в задании 1 применена правильная формула. Это формула для вычисления площадь пластинки, а здесь говорится о кривой.
Формулу не подскажите я посмотрел в книгах есть только такая
m = intint pds где p-плотность
Автор: Dimka 26.10.2008, 8:13
в итоге должно получится 24п/3 ?
8Pi
Масса = int po(x,y) dxdy, po(x,y) - плотность.
Автор: Тролль 26.10.2008, 8:18
Можно в полярных, можно в цилиндрических. Разницы между ними особо нет. В полярных получаем
V = int int (2y - y) dx dy
Формула M = int int ro dx dy применима для пластинки... а здесь кривая
Автор: draconchic 26.10.2008, 8:33
подскажите где ошибка
Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(z, y, z) выражается интегралом 
Материал из Википедии
Автор: Dimka 26.10.2008, 8:37
подскажите где ошибка
64Pi/12+64Pi/24=192Pi/24=8Pi
Автор: draconchic 26.10.2008, 8:41
64Pi/12+64Pi/24=192Pi/24=8Pi
Пора отдыхатьблин аш стыдно стало, такая тупая ошибка
Автор: Тролль 26.10.2008, 8:49
Всё правильно. Формулу для массы такую же нашел.
Автор: Dimka 26.10.2008, 8:51
блин аш стыдно стало, такая тупая ошибка
да это не ошибка, просто до конца не досчитал.
Автор: draconchic 26.10.2008, 8:54
тогда подскажите как взять интегралы
1/4int (0,1)sqrt(1+x^6)dx-1/4int (0,1) x*sqrt(1+x^6)dx
из написанного раньше
1+x^6=t^2
теперь надо найти dx
мы в класе брали производную от 1+x^6=t^2 но здесь х не исчезает
6x^5 dx=2tdt
как найти dx ?
Автор: draconchic 26.10.2008, 9:13
это неправельно?
m = int (0,1)dx int (x/4, 1/4)sqrt (1+x^6)dy
решая это получаю
1/4int (0,1)sqrt(1+x^6)dx-1/4int (0,1) x*sqrt(1+x^6)dx
p.s файл с решением прикрепить не получается
Автор: Dimka 26.10.2008, 9:13
тогда подскажите как взять интегралы
1/4int (0,1)sqrt(1+x^6)dx-1/4int (0,1) x*sqrt(1+x^6)dx
из написанного раньше
1+x^6=t^2
теперь надо найти dx
мы в класе брали производную от 1+x^6=t^2 но здесь х не исчезает
6x^5 dx=2tdt
как найти dx ?
x=(t^2-1)^(1/6)
Автор: draconchic 26.10.2008, 9:22
чето я совсем запутался
1+x^6=t^2
x=(t^2-1)^1/6
dx=1/6(t^2-1)^(-5/6)dt
нижний придел
1
верхний придел
sqrt(2)
так?
Автор: Dimka 26.10.2008, 9:28
это неправельно?
Блин, вот формула из книжки
m= int mu(x,y) dL, dL=sqrt(1+(y')^2)dx
У Вас mu=sqrt(1+x^6), y=x/4, 0<=x<=1, y'=1/4
m=int( sqrt(1+x^6)*sqrt(1+1/16) ) dx = int sqrt(17)/4 *sqrt (1+x^6) dx дальше решайте интеграл и подставляйте пределы интегрирования от 0 до 1
Автор: draconchic 26.10.2008, 9:39
а когда делаем замену 1+x^6=t^2
приделы разве не должны изменится?
Автор: Тролль 26.10.2008, 9:51
При замене пределы меняются. Надо проверить условие.
Так как интеграл от функции sqrt (1 + x^6), если я не ошибаюсь, в элементарных функциях не выражается.
Автор: draconchic 26.10.2008, 9:53
если я не ошибаюсь, в элементарных функциях не выражается.
что значит не выражается?
Автор: Dimka 26.10.2008, 10:12
что значит не выражается?
Я этот интеграл сейчас "ворочил" и у меня пока результатов нет. Мaple тоже отказывается его вычислять. Проверьте задание, нет ли там ошибок?
Автор: draconchic 26.10.2008, 10:15
Вычислить массу дуги кривой 4y=x, расположенной в первой четверти и отсеченной прямой y=1/4, если плотность равна sqrt(1+x^6)
Автор: Тролль 27.10.2008, 7:32
Я этот интеграл сейчас "ворочил" и у меня пока результатов нет. Мaple тоже отказывается его вычислять. Проверьте задание, нет ли там ошибок?
В Демидовиче написано, что такой интеграл не выражается в элементарных функциях.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)