Версия для печати темы

Автор: Элечка 13.10.2008, 11:39

Здравствуйте. У меня уравнение у"-2*y'+10*y=e^(-2x). решила характеристическое уравнение, x=1+3*корень из i и x=1-3*корень из i. тогда общее решение уравнения y0=e^(-2x)*(c1*cos3x+c2*sin3x). частное решение - y=e^(-2x)*(A*cos3x+Bsin3x). а вот дальше у меня не получается, т.к. я не знаю, как находить производную y' и y". Подскажите, пожалуйста

Автор: tig81 13.10.2008, 11:51

почему корень из i? как такое получили?

не общее решение, а решение однородного уравнения. Откуда у е такая степень?

почему?
частное решение дифференцировать по х.
Посмотрите http://www.reshebnik.ru/solutions/5/12/ и далее

Автор: Элечка 13.10.2008, 12:19

y"-2y'+10y=0, k^2-2*k+10=0, D=4-40=-36.

честно, не занималась вышкой года 4, а тут понадобилось. все забыла. совсем все запущено.

ой, пока писала сообщение....по этому поводу нашла ошибку. спасибо. но, все равно, все плохо

Автор: tig81 13.10.2008, 12:29

верно, дискриминант такой. Теперь ищем корни:
k1,2=(2+-sqrt(-36))/2=[2+-6sqrt(-1)]/2
sqrt(-1)=i
т.е. k1=(2+6i)/2=1+3i, k2=(2-6i)/2=1-3i
Действительная часть а=1, мнимая b=3. Тогда

yодн=e^ax(C1cosbx+C2sinbx)=e^x(C1cos3x+C2sin3x)

Ссылку посмотрели на образец решения?

Автор: Элечка 13.10.2008, 12:30

спасибо Вам за ссылку. тут много полезной инфнрмации для меня. у меня стало получаться!!!!

Автор: tig81 13.10.2008, 12:32

пожалуйста. Разбирайтесь.

Автор: Элечка 13.10.2008, 12:47

еще вопросик:
первая частная производная по x от e^x(A*cos3x+B*sin3x)=x*e^x(A*cos3x+B*sin3x)+e^x(3*A*cos3x-A*sin3x+3*B*sin3x+B*sin3x) ??? с косинусом 3х я сомневаюсь

Автор: tig81 13.10.2008, 12:49

у вас частное решение не так записано. Посмотрите примеры.

Автор: Тролль 13.10.2008, 12:50

Так как здесь есть только одна переменная х, то производная называется не частной, а просто производной.
Производная от e^x равна e^x.

(e^x * (A * cos 3x + B * sin 3x))' = (e^x)' * (A * cos 3x + B * sin 3x) +
+ e^x * (A * cos 3x + B * sin 3x)' = e^x * (A * cos 3x + B * sin 3x) + e^x * (-3A * sin 3x + 3B * cos 3x)

Автор: Элечка 13.10.2008, 13:14

спасибо. теперь я это буду знать. только вот у меня все посокращалось при подставлении производных в исходное уравнение. теперь у меня 0=e^-2x, странно как-то

Автор: tig81 13.10.2008, 13:21

правильно, должно сократиться, .т.к. вы решение подставляете в уравнение.

думаю, что не такое должно получиться. Но частное решение вы так не найдете.

уч=Ае^(-2x). Вот это дифференцируйте и подставляйте в уравнение

Автор: Тролль 13.10.2008, 13:22

Так и должно быть, потому что Вы подставляли в уравнение не частное решение, а решение ОДНОРОДНОГО уравнения: e^x * (C1 * cos 3x + C2 * sin 3x).
А нужно подставлять частное решение. Оно имеет вид y_ч = A * e^(-2x).
Тогда
y'_ч = -2 * A * e^(-2x), y''_ч = 4 * A * e^(-2x)
Подставляем в уравнение:
y''- 2 * y' + 10 * y = e^(-2x)
4A * e^(-2x) - 2 * (-2A * e^(-2x)) + 10 * A * e^(-2x) = e^(-2x)
10 * A * e^(-2x) = e^(-2x) => A = 1/10.
Тогда y_ч = 1/10 * e^(-2x).
А решением всего уравнения будет
y = e^x * (C1 * cos 3x + C2 * sin 3x) + 1/10 * e^(-2x).

Автор: Элечка 13.10.2008, 13:37

а почему такое?

А - известно, а В - нет. его ж для решения уравнения тоже нужно найти?

Автор: Тролль 13.10.2008, 13:43

Исправил предыдущее сообщение. C1 и C2 - это константы, которые так в ответе и останутся.
Потому что справа стоит e^(-2x). (k = -2)
Так как корни характеристического уравнения 1 +- 3i не совпадают с k = -2, то частным решением будет A * e^(-2x).

Автор: Элечка 13.10.2008, 13:48

Спасибо Вам огромное за помощь! Если бы Вы мне не помогли, то сама я вряд-ли разобралась. математикой нужно заниматься, а я это дело 4 года назад забросила, теперь страдаю.