Образовательный студенческий форум [Русская версия Invision Power Board]

Автор: elena2001 10.10.2008, 14:16

Исследовать на равномерную сходимость ряд: сумма n от 1 до бесконечности
arctg((2x)/((x^2+n^3)^(1/2))). Наверное, надо использовать признак Вейерштрасса, только не пойму с каким рядом сравнивать. Помогите, пожалуйста.

Автор: Тролль 10.10.2008, 18:21

Цитата(elena2001 @ 10.10.2008, 18:16)

Исследовать на равномерную сходимость ряд: сумма n от 1 до бесконечности
arctg((2x)/((x^2+n^3)^(1/2))). Наверное, надо использовать признак Вейерштрасса, только не пойму с каким рядом сравнивать. Помогите, пожалуйста.

arctg (2x) < pi/2
1/((x^2 + n^3)^(1/2)) <= 1/(n^3)^(1/2) = 1/n^(3/2).
Получаем, что исходный ряд <= pi/2 * 1/n^(3/2) => ряд сходится равномерно при действительных х.

Автор: elena2001 10.10.2008, 21:23

Цитата(Тролль @ 10.10.2008, 18:21)

arctg (2x) < pi/2
1/((x^2 + n^3)^(1/2)) <= 1/(n^3)^(1/2) = 1/n^(3/2).
Получаем, что исходный ряд <= pi/2 * 1/n^(3/2) => ряд сходится равномерно при действительных х.

там же берется arctg всей дроби (2x)/((x^2+n^3)^(1/2)). или это я что-то не понимаю?

Автор: Тролль 11.10.2008, 5:24

Тогда по другому, раз арктангенс от всей дроби. В знаменателе точно корень стоит?

Автор: elena2001 11.10.2008, 12:25

Цитата(Тролль @ 11.10.2008, 5:24)

Тогда по другому, раз арктангенс от всей дроби. В знаменателе точно корень стоит?

точно, я ошиблась, нет там корня. а можно тогда использовать неравенство a+b>=2(ab)^(1/2)? тогда можно сравнить с рядом arctg(1/n^(3/2)). правильно или нет?

Автор: Тролль 11.10.2008, 17:26

Цитата(elena2001 @ 10.10.2008, 18:16)

Исследовать на равномерную сходимость ряд: сумма n от 1 до бесконечности
arctg(2x/(x^2+n^3)). Наверное, надо использовать признак Вейерштрасса, только не пойму с каким рядом сравнивать. Помогите, пожалуйста.

Лучше немного по другому записать и рассмотреть случаи:
1) х = 0 => тогда все ясно
2) x > 0 =>
a^2 + b^2 >= 2ab, где ab > 0
Тогда 1/(a^2 + b^2) <= 1/(2ab)
Получаем, что
arctg 2x/(x^2 + n^3) <= arctg 2x/(2x * n^(3/2)) = arctg 1/n^(3/2)
А этот ряд сходится.
3) x < 0 =>
a^2 + b^2 >= -2ab, где ab < 0
Тогда
1/(a^2 + b^2) <= 1/(-2ab)
Получаем, что
arctg 2x/(x^2 + n^3) <= arctg 2x/(-2x * n^(3/2)) = -arctg 1/n^(3/2)
Ряд сходится.

Автор: elena2001 11.10.2008, 21:19

Цитата(Тролль @ 11.10.2008, 17:26)

Лучше немного по другому записать и рассмотреть случаи:
1) х = 0 => тогда все ясно
2) x > 0 =>
a^2 + b^2 >= 2ab, где ab > 0
Тогда 1/(a^2 + b^2) <= 1/(2ab)
Получаем, что
arctg 2x/(x^2 + n^3) <= arctg 2x/(2x * n^(3/2)) = arctg 1/n^(3/2)
А этот ряд сходится.
3) x < 0 =>
a^2 + b^2 >= -2ab, где ab < 0
Тогда
1/(a^2 + b^2) <= 1/(-2ab)
Получаем, что
arctg 2x/(x^2 + n^3) <= arctg 2x/(-2x * n^(3/2)) = -arctg 1/n^(3/2)
Ряд сходится.

Большое спасибо!

Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате