Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Ряды _ Разложение суммы квадратов
Автор: Draqon 9.4.2007, 21:24
Такая проблемка странная,
есть сумма m^2 по m
m принимает значения l, l-1, ... , -l+1, -l. Всего 2l+1 значений
Так вот эта сумма разкладывается в произведение 1/3 * l(l+1)(2l+1)
КАК? толи мозги кипят толи я вообще дурак
PS Это кусок задачи по физике, где речь идет о квантовых числах и тд
допустим при l=2
m= 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2
тогда нужная сумма = 2^2 + 1^2 + 1^2 +2^2 = 4+1+1+4=10
Она же 1/3 * 2*3*5 = 10
Автор: venja 10.4.2007, 2:59
Это удвоенная сумма квадратов натуральных чисел от 1 до l .
А для суммы квадратов натуральных чисел есть формула - посмотрите в справочнике - не помню.
Автор: Draqon 10.4.2007, 6:53
Это удвоенная сумма квадратов натуральных чисел от 1 до l .
А для суммы квадратов натуральных чисел есть формула - посмотрите в справочнике - не помню.
Ну сумма n-первых натуральных чисел S=1/6*n(n+1)(2n+1)
А как эту формулу вывести?
Автор: venja 10.4.2007, 9:37
По индукции.
Автор: crazymaster 7.7.2008, 15:05
Подскажите, а есть формула для суммы квадратов нечетных натуральных чисел (1^2+3^2+5^2+...) ?
Автор: Inspektor 7.7.2008, 15:28
Вроде получается n/3*(2n+1)(2n-1).
Автор: tig81 7.7.2008, 15:31
Вроде получается n/3*(2n+1)(2n-1).
т.е. так n/[3*(2n+1)(2n-1)] или так: n(2n+1)(2n-1)/3?
Автор: venja 7.7.2008, 15:31
Ее легко вывести, вычитая из суммы квадратов всех чисел сумму квадратов четных чисел (последняя по известной формуле суммы квадратов, если 4 вынести за скобку).
Можно и в лоб, учитывая, что (2k+1)^2=4k^2+4k+1
Автор: crazymaster 7.7.2008, 15:31
Вроде получается n/3*(2n+1)(2n-1).
а как вы такой ряд просуммировали?
Автор: crazymaster 7.7.2008, 15:45
Ее легко вывести, вычитая из суммы квадратов всех чисел сумму квадратов четных чисел (последняя по известной формуле суммы квадратов, если 4 вынести за скобку).
Можно и в лоб, учитывая, что (2k+1)^2=4k^2+4k+1
Спасибо Вам, я разобрался
Автор: tig81 7.7.2008, 17:02
Подскажите, а есть формула для суммы квадратов нечетных натуральных чисел (1^2+3^2+5^2+...) ?
Вот подобное задание: найти геометрически сумму квадратов первых n нечётных чисел.
Автор: Inspektor 7.7.2008, 17:29
Конечно второе. Если бы в знаменателе было выражение, то оно было бы в скобках
.
Автор: tig81 7.7.2008, 17:38
Конечно второе. Если бы в знаменателе было выражение, то оно было бы в скобках
.ну на всякий случай!
Автор: Elvoret 18.8.2008, 11:25
Ну сумма n-первых натуральных чисел S=1/6*n(n+1)(2n+1)
А как эту формулу вывести?
По индукции.
По индукции я могу доказать, что эта формула верна. А как я могу ее вывести?
Автор: Ярослав_ 18.8.2008, 14:33
По индукции я могу доказать, что эта формула верна. А как я могу ее вывести?
Скачайте такую книжку - И.П. Натансон http://d.theupload.info/down/s5mcclo84te2yxp6td4d7rcs9o62bmzs/natanson_i_p__summirovanie_beskonechno_malyh_velichin.djvu
Очень интересная и полезная книжка, там и найдете ответ на ваш вопрос.
Автор: venja 18.8.2008, 17:57
По индукции я могу доказать, что эта формула верна. А как я могу ее вывести?
Это, думаю, формула суммы КВАДРАТОВ n натуральных чисел.
А догадаться о ней можно только наблюдением. Сложить сначала сумму квадратов первых двух натуральных чисел, потом трех, четырех.. . Пока не увидите закономерность в получающихся суммах. А как догадаетесь - начинаете доказывать то, о чем догадались, по индукции.
Автор: Inspektor 18.8.2008, 18:55
Ярослав дал ссылку на книгу, там сразу вывод этой суммы идёт(через куб суммы).
Автор: Ярослав_ 18.8.2008, 19:43
Ярослав дал ссылку на книгу, там сразу вывод этой суммы идёт(через куб суммы).
Ну дык...
Автор: Elvoret 4.11.2008, 5:35
Скачайте такую книжку - И.П. Натансон http://d.theupload.info/down/s5mcclo84te2yxp6td4d7rcs9o62bmzs/natanson_i_p__summirovanie_beskonechno_malyh_velichin.djvu
Очень интересная и полезная книжка, там и найдете ответ на ваш вопрос.
Нашел. Спасибо!
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)