Версия для печати темы

Автор: Katushas 4.7.2008, 17:16

Помогите пожалуйста
В резервуаре находится 100л водного раствора, содержащего 10кг соли. Вода вливается в резервуар со скоростью 3л в минуту, и смесь вытекает из него со скоростью 2л в минуту, причем концентрация поддерживается равномерной посредством перемешивания. Сколько соли будет содержать резервуар через 1 час?

Автор: crazymaster 4.7.2008, 19:58

У меня ответ получился 5,71кг.

Автор: crazymaster 5.7.2008, 15:33

составлял уравнение, а оказывается можно было проще решить.
100л+литры которые натекут за час (3 литра в мин.), в этом общем объеме размешать соль и вычислить ее вес в литре, а затем умножить на кол. литров которое будет через час в резервуаре с учетом слива.

Автор: Katushas 7.7.2008, 17:26

Примем за независимое переменное время t , а за искомую функцию y(t) - кол-во соли в сосуде через t минут после начала опыта. Найдем на сколько изменится кол-во соли за промежуток времени от момента t до момента t+Dt . В одну минуту поступает 3л воды, а в минут - 3Dt литров. С другой стороны за время t из сосуда вытекает 2Dt литров раств
А как дальше что обозначать?

Автор: crazymaster 7.7.2008, 18:07

я так решал:
ищем содержание соли в 1 литре воды в момент времени t - обозначим V
V=10/100 - это содержание в начальный момент времени, так как литры со временем набираются, то в знаменателе нужно прибавить 1/60t - это скорость прилива в сек. и так как содержание соли уменьшается, то нужно из числителя отнять V/30t. Здесь 1/30 - с такой скоростью вытекают литры в сек., V-содержание соли в 1 литре воды в момент времени t.
Получилась формула: V=(10-(V/30)t)/(100+(1/60)t) - отсюда выражаем V
осталось домножить на кол литров через час.
P.S За правильность не отвечаю

Автор: Katushas 8.7.2008, 18:12

а то что вытекает 2 литра в минуту как учесть?

Автор: Тролль 8.7.2008, 19:28

То есть найдем, чему будет равно y(t + Dt) - y(t).
За время Dt соль вытекает из со скоростью 2 л в минуту. Тогда за время Dt вытечет 2 * Dt литров раствора. Осталось найти концентрацию соли в растворе.
Объем резервуара 100 литров, в момент времени t в резервуаре содержится y(t) кг соли.
Значит концентрация в момент времени t равна y(t)/100.
Получаем, что за время Dt вытечет 2 * Dt * y(t)/100 кг соли.
Тогда уравнение примет вид:
y(t + Dt) - y(t) = -2 * Dt * y(t)/100
Делим на Dt, а потом переходим к пределу при Dt -> 0.
Получаем дифференциальное уравнение:
y' = -y/50 => y(t) = C * e^(-t/50).
Так как y(0) = 10 => y(t) = 10 * e^(-t/50).
Осталось найти y(60).

Автор: crazymaster 8.7.2008, 20:15

а как учесть, что объем воды увеличивается?

Автор: Тролль 9.7.2008, 4:41

Да, не подумал... Хотя странно, что он увеличивается. Резервуар безразмерный что ли? Обычно в таких задачах сколько втекает, столько и вытекает.

Автор: Katushas 9.7.2008, 14:47

да нет условие записано верно еще раз проверила с учебника

Автор: Тролль 9.7.2008, 19:21

А ответа нет? Возможно в условии ошибка. А если нет ошибки, то можно примерно также рассчитать и для случая, когда втекает больше, чем вытекает.

Автор: Katushas 10.7.2008, 2:05

В ответе должно получиться 3,9 литра соли. А как расчитать когда втекает больше чем вытекает?

Автор: Тролль 10.7.2008, 6:15

Просто числа подставить другие.

Автор: Katushas 10.7.2008, 11:35

Так
y(t + Dt) - y(t) = 3 * Dt * y(t)/100-2* Dt * y(t)/100?
Как теперь получить дифференциальное уравнение?

Автор: Тролль 10.7.2008, 18:56

Уравнение у меня не такое получилось.

Автор: crazymaster 10.7.2008, 19:47

y(t + Dt) - y(t) = -2 * Dt * y(t)/(100+t)
Делим на Dt, а потом переходим к пределу при Dt -> 0.
Получаем дифференциальное уравнение:
y'=-2*y/(100+t)
так?? ответ вроде сходится

Автор: Тролль 11.7.2008, 9:27

Да, так.