Версия для печати темы

Автор: Unnamed 1.6.2008, 16:46

Найдите собственные числа и собственные векторы оператора сдвига в пространстве многочленов степени не выше 2. Докажите, что оператор сдвига - нильпотентный.

Я составил матрицу линейного оператора, но неуверен что правильно сделал это , если не трудно напишите правильный ее вариант

моя матрица:
0 0 1
х 0 0
0 х^2 0

P.S.
Заранее спасибо.

Автор: tig81 1.6.2008, 16:52

А как задан ваш оператор сдвига? Что называется матрицей оператора?

Автор: Unnamed 1.6.2008, 17:03

Найдите собственные числа и собственные векторы оператора сдвига в пространстве многочленов степени не выше 2. Диагонализируем ли оператор сдвига? Докажите, что оператор сдвига - нильпотентный.

Это полный текст задачи. как я понял нужно составить матрицу линейного оператора,
если взять базис (1,х,x^2) тогда получитца что
f(e1)=x;
f(e2)=x^2;
f(e3)=1;
(помоему так);
изходя из этого получим матрицу =) или я неправильно понимаю? у меня есть еще один вариант вместо х стоят единицы, может быть он правильный?

Автор: tig81 1.6.2008, 17:18

как вы нашли f(e1)...?
мне несовсем понятно как действует этот оператор.

Автор: Unnamed 1.6.2008, 17:25

Дело в том что преродователь объяснил мне условие именно так, насколько я понял оператор сдвига многочлена -естть преобрахование такого вида f(1)=x,f(x)=x^2....f(x^n)=1; базис (1,x...x^n);
я думаю так: f(1)= 1*0+ x*1..+x^n*0; => первый столбец должен быть (0,1,0...0) или же (0,х,0...,0)
вот так .....

Автор: tig81 1.6.2008, 17:34

т.е. для многочленов n степени: f(x^k)=x^(k+1),k=0;n-1 f(x^n)=1. Правильно я поняла?
Тогда вроде все похоже направду. Точно не могу сказать.

Автор: Unnamed 1.6.2008, 17:40

Да, я думаю так же, ну а с матрицей ло? мне нужно для многочленов степени не выше 2 , просто скажите правильная или нет, или в чем очибка, если не затруднит конечно =)

Автор: Тролль 1.6.2008, 20:58

Ну если я ошибаюсь, то решение выглядит примерно так:
в пространстве многочленов базис будет e1 = 1, e2 = x, e3 = x^2
A(e1) = x = 0 * e1 + 1 * e2 + 0 * e3
A(e2) = x^2 = 0 * e1 + 0 * e2 + 1 * e3
A(e3) = 1 = 1 * e1 + 0 * e2 + 0 * e3
Тогда матрица оператора имеет вид
0 0 1
A = 1 0 0
0 1 0

Несложно проверить нильпотентность: A^3 = E.
Ну а собственные числа и векторы уже не сложно.

Автор: Unnamed 2.6.2008, 3:35

спасибо большое, у меня тоже получился такой вариант решения, а собственые числа и вектор-несложно,вы правы) только вот нильпотентность выражается A^3=E или A^n=0 ???
ведь определение гласит что :
<<Матрица А размерности nxn называется нильпотентной с индексом нильпотентности v,где м-целое положительное, если выполняется условие A^v=0 >> ; как быть этим?вобщем то это определение и попродило мои сомнения) так как какую бы матрицу я не получил она не обращается в нулевую посредствам умножения.....

Автор: Тролль 2.6.2008, 7:44

Ну да.... вообще-то... Но у матрицы А определитель равен 1, поэтому нулем она ни в какой степени не станет. Может оператор сдвига по другому выглядит?

Автор: Unnamed 2.6.2008, 8:34

может быть и так, но у меня больше вобще нет вариантов........и насколько я понял оператор выглядит именно так, а значит и матрица составлена верно, просто если оператором подействовать на (1,х,x^2) получицо именно (x^2,x,1) => верно, значит очепятка в задании и требуется определить нильпотентный он или нет? конечно может быть и иначе....оператор составлен не верно и все летит к чертовой матери...эх...а вопрос остается :"что делать"?),кстати собственные числа и векторы нашлись харашо по этой матрице, она недиагонализируема получилась...