Версия для печати темы

Автор: SSSSSSasha 1.6.2008, 11:09

Помогите, пожалуйста найти Интервал сходимости степенного ряда
Сумма от n=1 до бесконечности
в числителе 5 в степени n умножить на x в степени n
в знаменателе rjhtym n-ной степени из n
Буду признательна за ответ!

Автор: tig81 1.6.2008, 13:07

читаем http://www.prepody.ru/ipb.html?act=boardrules.

Автор: venja 1.6.2008, 13:15

Поскольку ряд непростой, я все-таки намечу возможную схему решения. Тем более, что я успел написать набрать ответ до закрытия предыдущей темы. Не пропадать же добру !

Здесь важно понять, что lim a(n) =1, где a(n) =корень n-ной степени из n
Это можно доказать, если прологарифмировать это выражение и по правилу Лопиталя.
На интервале (-1/5, 1/5) ряд сходится абсолютно. Доказать это можно примерно так. Берем и фиксируем произвольное х из этого интервала. Составим ряд из модулей: 5^n*|x|^n/a(n). Выбираем такое у, что |x|<y<1/5. Рассмотрим ряд 5^n*у^n. Легко доказать (Даламбером) его сходимость. Проводя сравнение этих рядов (в предельной форме, с учетом того, что сказал вначале), получаем, что сходится и ряд 5^n*|x|^n/a(n).
Что и требовалось. На концах этого интервала (при х=-1/5 и х=1/5) исходный ряд расходится, так как его общий член не стремится к 0.
Поэтому интервал (да и область) сходимости есть (-1/5, 1/5).
Вроде так.