Очевидно, это должно быть легко... Но что-то я не разобрался.
f(z)=(sin(z))/(1 - cos(z)) - это в точке п/2 вроде бы получается...
Как его находить?
Если нетрудно - крааатенький алгоритм бы... Для тупых.
:)
Добро, если в знаменателе нечто вроде (z-z0) находится... Тогда формула для вычисления есть.
А что мне с этим косинусом делать - не знаю...
Пришла в голову идея по аналогии посчитать этот вычет как
предел при z -> п/4 от (sin(z))*(1 - cos(z))/(1 - cos(z)),
но у меня серьезные сомнения возникают в правильности такого решения...
И кажется мне, что сомнения обоснованные вполне.
1) Особые точки: z= п/2 + 2пk, k принадлежит Z, то есть целые;
2) Это всё - полюсы первого порядка;
3) Получается, если верить конспекту, нечто вроде (если брать полюс п/2 - он-то мне и нужен)
предел при z-> п/2 (sin(z))*(z-п/2)/(1-cos(z))...
То ли конспект врет, то ли студент тупой пошел, как пробка - но я не представляю, как оно считается...
:(
Просто есть другая формула, по которой считается устно. Если z0 - полюс 1 порядка функции f(z)/g(z), то вычет этой функции в точке z0 равен
Res = f(z0)/g'(z0)
Да, студент и вправду пошел тупой... Гнать нас надо.
:(
...
Спасибо большое за помощь... Буду считать.
:)
За ссылку - отдельное спасибо...
Буду всё помаленьку выверять и систематизировать.
Можно конечно вычислить и по формуле умножения.
Только там получается не pi/2 + 2pi * k, а 2pi * k
Например для 0:
lim(z->0) sin z * z/(1 - cos z) =
= lim(z->0) sin z * z/(2 * sin^2 z/2) =
= lim (z->0) z * z/(2 * (z/2)^2) = 2
Да, к тому же 0 - это полюс не первого порядка, а второго.
Так как f(z) = 1 - cos z.
f(0) = 0
f'(z) = sin z, f'(0) = 0
f''(z) = cos z, f''(0) <> 0
0 - полюс второго порядка.
Да, с п/2 я явно погорячился...
Впрочем, надо будет пересчитать тогда...
Тогда всё вроде бы поддается подсчетам.
Попробую.
...
Что-то некрасивое получается... Ноль?
По какой формуле считали?
Вроде бы она...
...
"Если а - полюс функции f(z) n-го порядка, то "
Полюс второго порядка; дифференцируем один разок.
...
Итого у меня получилось...
Ай. Я же запутал, наверное...
У меня просто пример другой... Там синус в кубе.
Неактуально - формула применяется и результат выдает... Это я всех тут путаю. Извините.
Эскизы прикрепленных изображений
Ну да, формула правильная. Ну примените её, напишите, что у вас получится. Желательно поподробнее... А мы посмотрим.
Ну, если f(z)=((sin(z))^3)/(1-cos(z)),то вроде бы полюс считается по формуле
lim(z->0) ((sin(z) + 3z(sin(z))^3)*(1-cos(z)) - z(sin(z))^4)/(1 - (cos(z))^2) ...
Вроде бы так...
Верно... В первой скобке ошибку влепил... Время позднее... Скоро спать уйду.
А тут вроде бы при z->0 неопределенность вида 0/0... Ещё дифференцировать, что ли, как Лопиталь завещал?
Можно просто заменить Sin z на z.
lim (z->0) (z^2 * f(z))' =
((2z * sin^3 + 3z^2 * sin^2 * cos) * (1 - cos) + z^2 * sin^4)/(1 - cos)^2
= lim (z->0) ((2z * sin^3 + 3z^2 * sin^2 * cos) * (1 - cos) + z^2 * sin^4)/(1 - cos)^2 =
= lim (z->0) ((2z^4 + 3z^4) * 2 * sin^2 (z/2) + z^6)/(2 * sin^2 (z/2))^2 =
= lim (z->0) (10z^4 * (z/2)^2 + z^6)/(2 * (z/2)^2)^2 =
= lim (z->0) (5/2 * z^6 + z^6)/(z^4/4) = 0
Вроде и правда ноль получается.
Ноль - это хорошо.
Это очень даже замечательно, что ноль.
Там потом в решении, я надеюсь, здОрово всё посокращается...
...
Вот заменить на эквивалентные у меня бы соображалки не хватило... Я бы упорно дифференцировал. До посинения лица и одеревенения конечностей.
Надо бы запомнить.
Ушел спать... Почти.
Ещё раз спасибо за помощь.
Удачи вам.
:)
Исправил сообщение.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)