Версия для печати темы

Автор: Ботаник 18.5.2008, 9:25

Скажите, а уравнение (z+1)^8 = (z-1)^8 имеет два различных корня z=0 и z=пi ?

Автор: tig81 18.5.2008, 9:46

а как вы такое получили? Уравнение 8-ой степени имеет восемь корней. Действительный корень один - z=0.

Автор: Ботаник 18.5.2008, 10:55

Я видел в книжке теорему о корнях многочлена
Это ведь тема "ТФКП"? Соответственно z есть число комплексное. Кстати, с кратными корнями здесь мне тоже непонятно. Если я их верно нашёл, то какая кратность у какого?

Автор: tig81 18.5.2008, 11:02

ну это понятно, просто вы указали лишь действительные корни в первом своем сообщении.
вот все корни: 0, I, -I, -I*(2^(1/2)-1), (2^(1/2)-1)*I, -I*(2^(1/2)+1), (2^(1/2)+1)*I

ну в книжке, наверное, определение кратных корней есть?
Корень с многочлена f(x) называется корнем кратности k, если f(x) делится на (x-c)^k и f(x) не делится на (x-c)^(k+1).
Если c – корень кратности k многочлена f(x) , то f(x)=(x-c)^k*h(x), h©<>0.

Автор: граф Монте-Кристо 18.5.2008, 11:10

Мне почему-то кажется,что это будет уравнение 7-ой степени.

Автор: tig81 18.5.2008, 11:27

правильно кажется

Автор: Ботаник 18.5.2008, 12:53

Посмотрите, пожалуйста, как я делал:
http://www.bottanikk.narod.ru/Image1.gif
потом впадаю в ступор Подскажите, как дальше делать. Или у меня там вообще всё не так? 10^3 лет не занимался ТФКП

Автор: tig81 18.5.2008, 13:03

а в чем задание состоит? Решить уравнение или что-то другое?

Наверное неверно записано:
1^(1/8)=(cos0+isin0)^(1/8). Почему в тригонометрической форме числа z=1 стоит аргумент 2Пk?

Далее, наверное, в выражении (z+1)/(z-1) выделяете действительную и мнимую часть и затем воспользуемся опредлеием двух равных комплексных чисел.

Автор: tig81 18.5.2008, 13:21

а если попробывать применять формулу разность квадратов:
(z+1)^8-(z-1)^8=0
[(z+1)^4-(z-1)^4][(z+1)^4+(z-1)^4]=0
Вторую скобку раскрываем по формуле (a+b )^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 (или (a+b )^4=(a+b )^2*(a+b )^2), а для первой далее разность квадратов. Мне кажется, так будет легче решить это уравнение.

Автор: Ботаник 18.5.2008, 13:33

Спасибо за помощь!

Да, надо решить уравнение. сейчас попробую воспользоваться вашей подсказкой.

Тригонометрическая форма записана верно - я просто содрал 1:1 из Пискунова. у него похожий пример для 4 степени.

Автор: tig81 18.5.2008, 13:35

да не за что!

Здесь не соглашусь: пусть z=1, тогда |z|=sqrt(1^2+0^2)=1, argz=arctg(0/1)=0. Т.е. угол равен нулю, тогда тригонометрическая форма:
z=1*(cos0+isin0). Вроде все правильно!?

Автор: Ботаник 18.5.2008, 13:39

А как вы получили корни, которые привели в одном из своих сообщений?

Автор: tig81 18.5.2008, 19:17

при помощи Maple

Автор: Ботаник 19.5.2008, 9:02

а я-то, дурачок, обрадовался, думал вы по-честному решили и со мною знанием поделитесь

Помните, вы говорили, что может оказаться проще раскладывать как разность квадратов? Пробовал и так. Три корня нашел, а потом не смог осилить сумму четвёртых степеней и четыре корня из семи не нашёл.

Автор: tig81 19.5.2008, 14:40

а в чем проблема? у меня эта сумма свелась к биквадратному уравнению. Напишите, что у вас получилось, посмотрим.

Автор: Ботаник 19.5.2008, 19:19

Проблема в том, что выглядит страшно. Спасибо за подсказку, воспользуюсь.

Автор: tig81 19.5.2008, 19:24

уравнение [(z+1)^4+(z-1)^4]=0 или то, что получилось после раскрытия скобок? Там что-то должно взаимно уничтожиться, вроде как.

Автор: Ботаник 21.5.2008, 5:05

Сделал всё, кроме уравнения

вот с ним-то я и не смог пока справиться - пришлось отложить.

Автор: tig81 21.5.2008, 5:19

что именно не получается?
(z+1)^4=z^4+4z^3+6z^2+4z+1, (z-1)^4=z^4-4z^3+6z^2-4z+1, тогда
0=(z+1)^4+(z-1)^4=z^4+4z^3+6z^2+4z+1+z^4-4z^3+6z^2-4z+1=2z^4+12z^2+2.
И решаем теперь полученное биквадратное уравнение.

Автор: Ботаник 26.5.2008, 12:41

Спасибо за помощь! Всё получилось. Задача решена. Корни получил в точности, как у вашего компьютера.

Автор: tig81 26.5.2008, 15:02

пожалуйста! Видите, не только компьютер так сможе решить.