Образовательный студенческий форум [Русская версия Invision Power Board]

Автор: Andrey 89 10.3.2008, 11:45

Подскажите пожалуйста!!!
Найти область сходимости степенного ряда - общий член ряда - "(-1)^n*(x-3)^n/(n+1)*Ln(n+1)
Никак не получается решить. Не знаю, что делать с натуральными логарифмами. При нахождении радиуса сходимости возникают проблемы.
Помогите пожалуйста, завтра сдавать.

Автор: tig81 10.3.2008, 11:51

Цитата(Andrey 89 @ 10.3.2008, 13:45)

Подскажите пожалуйста!!!
Найти область сходимости степенного ряда - общий член ряда - "(-1)^n*(x-3)^n/(n+1)*Ln(n+1)
Никак не получается решить. Не знаю, что делать с натуральными логарифмами.

При нахождении радиуса сходимости возникают проблемы.
Помогите пожалуйста, завтра сдавать.

Какие проблемы возникают? А логарифм в числителе стоит или в знаменателе?

Автор: Andrey 89 10.3.2008, 11:56

Когда я нахожу радиус сходимости по формуле
R= lim Un/Un+1 получается такое R = -lim (n+2)*ln(n+2)/(n+1)ln(n+1) Не знаю, как избавиться от натуральных логарифмов.

Автор: tig81 10.3.2008, 12:01

Цитата(Andrey 89 @ 10.3.2008, 13:56)

Когда я нахожу радиус сходимости по формуле
R= lim Un/Un+1 получается такое R = -lim (n+2)*ln(n+2)/(n+1)ln(n+1) Не знаю, как избавиться от натуральных логарифмов.

Во-первых, R= lim|Un/Un+1|, то есть
R = lim (n+2)*ln(n+2)/(n+1)ln(n+1).
При n->00, дробь (n+2)/(n+1)->1. Отсюда
R = lim(n->00)(ln(n+2)/ln(n+1)). Получаем неопределнность вида 00 на 00, которую легко раскрыть, например, по правилу Лопиталя.

Автор: Andrey 89 10.3.2008, 12:07

Цитата(tig81 @ 10.3.2008, 12:01)

Во-первых, R= lim|Un/Un+1|, то есть
R = lim (n+2)*ln(n+2)/(n+1)ln(n+1).
При n->00, дробь (n+2)/(n+1)->1. Отсюда
R = lim(n->00)(ln(n+2)/ln(n+1)). Получаем неопределнность вида 00 на 00, которую легко раскрыть, например, по правилу Лопиталя.

Спасибо большое вы мне очень помогли!!!

Автор: tig81 10.3.2008, 12:10

Цитата(Andrey 89 @ 10.3.2008, 14:07)

Спасибо большое вы мне очень помогли!!!

пожалуйста

Автор: venja 10.3.2008, 14:52

Надеюсь, логарифм был в знаменателе. Интервал сходимости найти несложно: (2,4).
Основная трудность - исследовать значения на концах интервала.
При х=2 ряд расходится по интегральному признаку Коши, а при х=4 ряд сходится по признаку Лейбница.

Автор: Andrey 89 10.3.2008, 17:49

Можете ещё помочь? Надо разложить в ряд Маклорена функцию
ln(1+2*x)/x Затрудняюсь решить пример, так как не знаю, как избавиться от x. Помогите пожалуйста. Я знаю, что каким-то образом пример надо привести к разложению в ряд Маклорена простейшей функции ln(1+x). Вот думал, думал и никак не могу понять.

Цитата(venja @ 10.3.2008, 14:52)

Надеюсь, логарифм был в знаменателе. Интервал сходимости найти несложно: (2,4).
Основная трудность - исследовать значения на концах интервала.
При х=2 ряд расходится по интегральному признаку Коши, а при х=4 ряд сходится по признаку Лейбница.

Спасибо большое!!! Оказывается у меня неправильно

У меня получилось, что в обоих точках ряд сходится. Ещё раз спасибо!!!

Автор: Ярославвв 10.3.2008, 18:14

Цитата(Andrey 89 @ 10.3.2008, 20:49)

Можете ещё помочь? Надо разложить в ряд Маклорена функцию
ln(1+2*x)/x Затрудняюсь решить пример, так как не знаю, как избавиться от x. Помогите пожалуйста. Я знаю, что каким-то образом пример надо привести к разложению в ряд Маклорена простейшей функции ln(1+x). Вот думал, думал и никак не могу понять.

Распишите числитель в ряд Маклорена, в числителе в место икс подставить два икс, а потом сократить икс в знаменателе. Думаю так будет.

Автор: Andrey 89 10.3.2008, 18:24

Цитата(Ярославвв @ 10.3.2008, 18:14)