Образовательный студенческий форум [Русская версия Invision Power Board]

Автор: Orfiso 13.1.2008, 17:05

Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=x^2+y^2, удовлетворяющего начальному условию y(0)=2.

Помогите, пожалуйста.
Я так поняла, что сперва надо решить диф. уравнение?
Если да, то подскажите, как его решить, не могу сообразить.

Заранее спасибо

Автор: venja 13.1.2008, 19:07

Цитата(Orfiso @ 13.1.2008, 22:05)

Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=x^2+y^2, удовлетворяющего начальному условию y(0)=2.
Помогите, пожалуйста.
Я так поняла, что сперва надо решить диф. уравнение?

Не надо. Долго объяснять. Лучше посмотрите в решебниках (или интернете) тему - приближенное решение диф. уравнений с помощью степенных рядов.

Автор: Orfiso 14.1.2008, 7:40

Все получилось, спасибо большое

Автор: Ярославвв 20.1.2008, 6:41

У меня похожая задача. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решение y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x,y) удовлетворяющего условию y(0)=y0
y'=y+y^2; y0=3
Мое решение такое:
нужно представить такое выражение F(x)=y0+[y'(0)/1!]x+[y"(0)/2!]x^2+[y'''(0)/3!]x^3+.....+[y(0)/n!]x^n

y'=y+y^2 y"=y'+2yy' y'''=y"+2y"^2+2yy" y''''=y'''+6y"y'+2yy'''
y(0)=3 y'(0)=3+9=12 y"(0)=12+2*3*12=7*12=84 y'''(0)=84+2*144+6*84=144+7*42=438

Значит получится F(x)=3+12x+42x^2+73x^3+............
Ответ: a1=12 a2=42 a3=73
У меня вопрос, а правильно ли я все сделал:??????????????????

Автор: Orfiso 20.1.2008, 8:45

Цитата(Ярославвв @ 20.1.2008, 12:41)

У меня похожая задача. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решение y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x,y) удовлетворяющего условию y(0)=y0
y'=y+y^2; y0=3
Мое решение такое:
нужно представить такое выражение F(x)=y0+[y'(0)/1!]x+[y"(0)/2!]x^2+[y'''(0)/3!]x^3+.....+[y(0)/n!]x^n

y'=y+y^2 y"=y'+2yy' y'''=y"+2y"^2+2yy" y''''=y'''+6y"y'+2yy'''
y(0)=3 y'(0)=3+9=12 y"(0)=12+2*3*12=7*12=84 y'''(0)=84+2*144+6*84=144+7*42=438

Значит получится F(x)=3+12x+42x^2+73x^3+............
Ответ: a1=12 a2=42 a3=73
У меня вопрос, а правильно ли я все сделал:??????????????????

Производные взял правильно, но y'''(0)=84+2*144+6*84=288+7*84=876
Соответственно, F(x)=3+12x+42x^2+146x^3+............

Автор: Ярославвв 20.1.2008, 11:31

Да верно. Спасибо большое. У меня еще сомнения по поводу разложения функции в ряд Фурье. Я не буду приводить само решение т.к., оно длинное, но если ответ не правильный я покажу его. У меня сомнения вот в чем. Я не очень уверен в том, что правильно выразил n-ый член этого ряда. Задача у меня такая: разложить в ряд Фурье по косинусам составить график и график полученного ряда.
F(x)=скобка 0, 0=<x=<pi/2 и -cosx, pi/2=<x=<pi
Что касается вычисления, интеграла у меня нет проблем, для n-ного члена я его получил, НО!!!!!!!!! Когда стал его выражать, маленько призадумался, а именно получилось
F(x)= 1/пи+ сумма от n=1 до 00 [2(-1)^{n+1}*cos(2nx)]/[(2n)^2-1] Рассуждения меня привели, что при n=2k-1 a_(2k-1) будет равно нулю, так вот можно ли в аргумент косинуса СТАВИТЬ 2NX???????????????
Спасибо!!!!! Да и еще с графиками, первый у меня затруднений не вызвал, это просто, НО!!!!! со вторым я никогда не сталкивался, понимаю что это две линии симметричные относительно оси Oy, причем с периодом 2пи. Но составить не могу. Чесно скажу, что взяз программу по составлению графика можно угадать эти линии, но я так не хочу. Мне нужно это ясно понимать. Если знаете где это описано, дайте пожалуйста ссылку. Составления за меня этого графика я не требую.

Автор: Ярославвв 27.1.2008, 11:51

Цитата

Задача у меня такая: разложить в ряд Фурье по косинусам составить график и график полученного ряда.
F(x)=скобка 0, 0=<x=<pi/2 и -cosx, pi/2=<x=<pi

Нахожу a_n по стандартной формуле a_n=2/пи* интеграл ОТ пи пополам ДО пи -cosXcosNXdx
Упрощаю подынтегральное выражение -1/2[sinX(1+n)+sinX(1-n)]
Дальше берем интеграл, получаем 1/пи*[sinX(1+n)/(1+n)+sinX(1-n)/(1-n)]
Для a_n у меня вот что получилось
a0=2/pi
a1=2/3pi
a2=-2/15pi
a3=2/35pi
a4=-2/63pi
Я выразил все это вот какой формулой a_n= в числителе 2*(-1)^n+1 в знаменателе [(2n)^2-1]pi
при нечетном эн а-нное равно 0, и я взял в аргумент косинуса поставил 2NX.
тАК ЛИ Я СДЕЛАЛ??????????

Автор: Ярославвв 29.1.2008, 16:38

Можно спросить, а что ряд Фурье настолько трудная тема или много мороки с ней. (в смысле трудоемкая такая) Не поймите это как укор, нет, интерес чистый. В двух форумах решал этот пример, никто не ответил.(даже конь не валялся)

Автор: Руководитель проекта 29.1.2008, 17:58

Цитата(Ярославвв @ 29.1.2008, 19:38)

Можно спросить, а что ряд Фурье настолько трудная тема или много мороки с ней. (в смысле трудоемкая такая) Не поймите это как укор, нет, интерес чистый. В двух форумах решал этот пример, никто не ответил.(даже конь не валялся)

Вы правы. Задания на эту тему очень трудоемкие.

Автор: Ярославвв 30.1.2008, 13:35

Цитата(Руководитель проекта @ 29.1.2008, 20:58)