Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Ряды _ Исследование на сходимость
Автор: Lister 16.12.2007, 19:10
Здравствуйте. Уже довольно продолжительное безрезультатно время пытаюсь решить следующую задачу:
Исследовать на сходимость ряд [Сумма по n от 1 до бесконечности] exp{-2 * n^1/2 + 4} ("е в степени минус два корня из n плюс 4").
Пытался применить признаки Даламбера и Коши - безрезультатно, в пределе постоянно получаю единицу. Почему-то мне кажется, что ряд расходится, но с решением проблема. Может, здесь нужно применить какой-либо признак сравнения? Если да, то буду рад, если кто-либо подскажет, с чем сравнивать.
Самое обидное, что это даже не полноценный пример - а просто исследование на сходимость одного из концов интервала сходимости функционального ряда (для 2ого конца задача оказалась значительно легче, т.к. общий член полученного там ряда не стремится к 0).
Спасибо большое за помощь =)
Автор: tig81 16.12.2007, 19:18
Здравствуйте. Уже довольно продолжительное безрезультатно время пытаюсь решить следующую задачу:
Исследовать на сходимость ряд [Сумма по n от 1 до бесконечности] exp{-2 * n^1/2 + 4} ("е в степени минус два корня из n плюс 4").
Пытался применить признаки Даламбера и Коши - безрезультатно, в пределе постоянно получаю единицу. Почему-то мне кажется, что ряд расходится, но с решением проблема. Может, здесь нужно применить какой-либо признак сравнения? Если да, то буду рад, если кто-либо подскажет, с чем сравнивать.
Самое обидное, что это даже не полноценный пример - а просто исследование на сходимость одного из концов интервала сходимости функционального ряда (для 2ого конца задача оказалась значительно легче, т.к. общий член полученного там ряда не стремится к 0).
Спасибо большое за помощь =)
А интегральный признак Коши применяли? По крайней мере программа выдает конечный результат, так что попробуйте, авось
Автор: Lister 17.12.2007, 13:20
К сожалению, полученный интеграл в элементарных функциях не берется. Я в отчаянии 
Может быть, у кого-нибудь будут другие предложения?
edit : верно ли такое решение:
Сходимость исходного ряда будет вытекать из из сходимости ряда [Сумма по n от 1 до бесконечности] 1/ exp { n^1/2 } ("е в степени минус корень из n")
Т.к. exp { n^ 1/2 } возрастает быстрее, чем n^2, то
exp {n^ 1/2} > n^2 при n--> бесконечность
1 / exp {n ^ 1/2} < 1 / n^2
Ряд 1 / n^2 сходится (гармонический), следовательно, сходится и меньший ряд 1 / exp {n ^ 1/2}, следовательно, сходится и исходный ряд exp{-2 * n^1/2 + 4}
Ответ: ряд [Сумма по n от 1 до бесконечности] exp{-2 * n^1/2 + 4} сходится.
Автор: tig81 17.12.2007, 15:09
К сожалению, полученный интеграл в элементарных функциях не берется. Я в отчаянии
Может быть, у кого-нибудь будут другие предложения?
edit : верно ли такое решение:
Сходимость исходного ряда будет вытекать из из сходимости ряда [Сумма по n от 1 до бесконечности] 1/ exp { n^1/2 } ("е в степени минус корень из n")
Т.к. exp { n^ 1/2 } возрастает быстрее, чем n^2, то
exp {n^ 1/2} > n^2 при n--> бесконечность
1 / exp {n ^ 1/2} < 1 / n^2
Ряд 1 / n^2 сходится (гармонический), следовательно, сходится и меньший ряд 1 / exp {n ^ 1/2}, следовательно, сходится и исходный ряд exp{-2 * n^1/2 + 4}
Ответ: ряд [Сумма по n от 1 до бесконечности] exp{-2 * n^1/2 + 4} сходится.
ну вот,что получилось в Maple
Автор: venja 17.12.2007, 16:08
К сожалению, полученный интеграл в элементарных функциях не берется. Я в отчаянии
Может быть, у кого-нибудь будут другие предложения?
edit : верно ли такое решение:
Сходимость исходного ряда будет вытекать из из сходимости ряда [Сумма по n от 1 до бесконечности] 1/ exp { n^1/2 } ("е в степени минус корень из n")
Т.к. exp { n^ 1/2 } возрастает быстрее, чем n^2, то
exp {n^ 1/2} > n^2 при n--> бесконечность
1 / exp {n ^ 1/2} < 1 / n^2
Ряд 1 / n^2 сходится (гармонический), следовательно, сходится и меньший ряд 1 / exp {n ^ 1/2}, следовательно, сходится и исходный ряд exp{-2 * n^1/2 + 4}
Ответ: ряд [Сумма по n от 1 до бесконечности] exp{-2 * n^1/2 + 4} сходится.
По идее решение верное, только требует обоснования.
Например, действительно ли для всех n (или начиная с некоторого):
exp {n^ 1/2} > n^2
И что означает:
exp {n^ 1/2} > n^2 при n--> бесконечность?
Может проще использовать сравнение в ПРЕДЕЛЬНОЙ форме?
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)