Доказать, что для каждого [math]$n\in\mathbb{N}$[/math] существует бесконечно много таких троек попарно различных натуральных чисел [math]$(a, b, c)$[/math], что [math]$a+b+c$[/math] и [math]$abc$[/math] являются [math]$n$[/math]-ными степенями некоторых натуральных чисел.
Для [math]$n=2$[/math] такую бесконечную серию троек найти нетрудно. Пусть [math]$k$[/math] - нечётное натуральное число. Тогда тройка [math]$(6^k,\; 2\cdot 6^k,\; 3\cdot 6^k)$[/math] удовлетворяет условию задачи.
При [math]$n=3$[/math] тоже особых проблем нет - возьмём все тройки вида [math]$(7^{3m-1},\; 2\cdot 7^{3m-1},\; 4\cdot 7^{3m-1})$[/math], где [math]$m\in\mathbb{N}$[/math].
Как двигаться дальше? Пожалуйста, помогите решить.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)