Версия для печати темы

Автор: _SlaSh_ 27.11.2007, 9:20

Помогите, пожалуйста, решить пару примеров.
А точнее, направьте на нужный путь.

1) Lim (cosX)^(4/x^2)
x->0

При х-> 0 cosX должен быть равен единице, а дальше что делать - не представляю.
Можно ли в таблице эквивалентности б.м. переносить части выражения через знак эквивалентности? Т.е. 1-cosX ~ x^2/2 тоже самое, что cosX ~ 1 - x^2/2 при x->0 или нет? если да, то вроде бы получается свести к второму замечательному пределу, заменив 1/x = t, t->00. Но смущает меня такой перенос.

2) Lim ((sqrt(n) - sqrt(n-3))*sqrt(n^2+3)/(n+5)
n->00

Поделил числитель и знаменатель на n.
получил следующее:
Lim (sqrt(n) - sqrt(n-3))
n->00

После умножения числителя и знаменателя на сопряженное числителю, получилось
Lim 3/(sqrt(n) + sqrt(n-3))
n-> 00

Потом подумал немного и пришёл к выводу, что вся дробь стремится к нулю. Т.е. ответ - ноль.
Всё верно? Или что-то упустил из виду?

Спасибо.

Автор: Black Ghost 27.11.2007, 10:17

Можно переносить, только t= -x^2/2 --> 0
(cosX)^(4/x^2)~(1+(-x^2 / 2))^(4/x^2) = (1 + t)^(-2/t)={(1+t)^(1/t)}^-2 --> e^-2

А 2-й можно написать, так как Вы решили, но, наверное, лучше примерно в таком виде:
Lim ((sqrt(n) - sqrt(n-3))*sqrt(n^2+3)/(n+5) = Lim 3sqrt(n^2+3)/{(n+5)(sqrt(n) + sqrt(n-3))}= делим числитель и знаменатель на n = Lim 3sqrt{(n^2+3)/n^2} / {(1+5/n)(sqrt(n) + sqrt(n-3))}= Lim 3sqrt{1+3/n^2} / {(1+5/n)(sqrt(n) + sqrt(n-3))} = 0

Автор: _SlaSh_ 27.11.2007, 10:59

Спасибо!