Версия для печати темы

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 7:43

Доброго времени суток.
Есть систему ДУ которую требуется решить методом опериционного счесления, препод докопалась, нужно решить, я не могу закончить решение и не знаю правильно ли делаю она помогать не хочет. Помогите пожалуйста. Вот собственно сама система:
(1) x" - y' = 0
(2) x - y" = 2sin(t)
если x'(0)=y(0)=y'(0)=1 ; x(0)= - 1.
где (1) - первое ур-ие системы, (2) - второе ур-ие системы.

Сам начинал решать 2 способами, оба не привели меня к ответу. Покажу начало решения возможно кто-то увидит ошибку.

Переходим по прямому преобразованию Лапласа :
x" = (p^2)*(X(p)) + p - 1
y' = p*(Y(p)) - 1
x = X(p)
y" = (p^2)*(Y(p)) - p - 1
2sin(t) = 2/((p^2) + 1)
пока писал подумал нужно ли преобразовывать 0 в правой части первого ур-ия системы??

дальше выражал Y(p) из 1 ур-ия
Y(p) = p*(X(p)) + 1
подставил во 2ое ур-ие и у меня получилось
X(p) = - (p-1)/((p^2) + 1)

и тут не знаю что с этим делать....

Автор: Dimka 27.2.2013, 8:34

Верно.
Подставляйте это все в систему и записывайте операторную систему.
Дальше из второго уравнения выразите X(p), подставьте в первое.

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 9:07

Я почти так и делал.
Записал операторную систему.
Я выразил из первого Y(P) подставил во второе. Упростил. X(p) получилось -(p-1)/((p^2)+1)
с этим не знаю что делать нет такого выражения в обратных преобразованиях Лапласса.
И даже если подставить это потом в Y(p) которое я уже выражал, тоже получается выражение которого нету в обратных преобразованиях Лапласса

Автор: Dimka 27.2.2013, 9:09

Запишите операторную систему, которая у Вас получилась

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 9:20

(1) (p^2)*X(p) + p - 1 - p*Y(p) + 1 = 0
(2) X(p) - (p^2)*Y(p) + p + 1 = 2/((p^2)+1)
далее из (1) выражаю Y(p)
-p*Y(p) = - (p^2)*X(p) - p + 1 - 1
p*Y(p) = (p^2)*X(p) + p | /p
Y(p) = p*X(p) + 1
подставляю в (2)
X(p) - (p^2)*[p*X(p) + 1] + p + 1 = 2/((p^2)+1)
X(p) - (p^3)*X(p) - (p^2) + p + 1= 2/((p^2)+1)
выносим X(p) за скобки, при этом все члены не содержащие Х(р) переносим в правую часть
X(p)[1 - (p^3)] = 2/((p^2)+1) + (p^2) - p - 1
делим это на [1 - (p^3)]
и в итоге всех упрощений получаем
X(p) = - (p - 1) / ((p^2) + 1)

Автор: Dimka 27.2.2013, 9:44

Верно.
Разбивайте на сумму простых дробей
X(p)=[ 1/(p^2+1) ] - [ p/(p^2+1) ]
Теперь по таблице изображений находите оригинал x(t)

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 9:52

хмм... почему я сам не подумал
получилось
x(t) = sin(t) - cos(t) верно?
но тогда при подстановке X(p) в Y(p) получается
Y(p) = ((p - (p^2))/((p^2)+1)) + 1
что делать с этим??

Автор: Dimka 27.2.2013, 9:58

Верно x(t)
Y(p) привести к общему знаменателю, раскрыть скобки и упростить

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 10:02

получилось y(t) = cos(t) + sin(t)
x(t) = sin(t) - cos(t)

такое может быть? и как выполнить проверку?

Автор: Dimka 27.2.2013, 10:04

y(t) = cos(t) + sin(t)
x(t) = sin(t) - cos(t)

Верно.

Для проверки Вы можете подставить свои ответы в исходную систему.
x" - y' = 0
x - y" = 2sin(t)
Должны получиться верные равенства
0=0
2sin(t)=2sin(t)

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 10:08

спасибо! Не могли бы Вы объяснить как я должен подставить там же x' и x" и с игриками то же самое а у меня есть только x(t) и y(t)

Автор: Dimka 27.2.2013, 10:10

Найти x'(t) и x''(t) и подставлять. Аналогично с y(t)

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 10:13

посчитать производные? первую и вторую? и t брать как переенную?

Автор: Dimka 27.2.2013, 10:15

да.

Просто Вашу систему можно расписать подробнее
x"(t) - y'(t) = 0
x(t) - y"(t) = 2sin(t)

но в задании пишут более коротко
x" - y' = 0
x - y" = 2sin(t)

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 10:26

почему то второе ур-ие получается верным , а первое нет =(

Автор: Dimka 27.2.2013, 10:28

x'' чему равно?
y' чему равно?

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 10:34

x'' = -sin(t) - cos(t)
y' = sin(t) + cos(t)

Автор: Dimka 27.2.2013, 10:41

нет. Считайте внимательнее, особенно со знаками.

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 10:46

пересчитал сам и в программе, всё как я написал 0_0

Автор: Dimka 27.2.2013, 10:49

y(t) = cos(t) + sin(t)
y'(t) = -sin(t) + cos(t)

А Вы пишите

Проверяйте внимательнее

Автор: xD_DarK 27.2.2013, 10:55

перепутал x(t) и y(t)
Спасибо вам большое. Теперь меня не отчислят =)

Автор: Dimka 27.2.2013, 11:05

Вовремя нужно все сдавать, тогда не отчислят.