Образовательный студенческий форум [Русская версия Invision Power Board]

Автор: Klar 28.11.2011, 20:00

Необходимо исследовать функцию.

Первые пункты исследования, я немного уверена, но совершенно не могу понять,
1.как возможно доказать периодичность/ не периодичность функции y= (- 6x^2) / ( x + 1)^2.
2. Также, как найти критические точки производной второго порядка, интервалы выпуклости, вопуклости, точки перегиба?

Автор: tig81 28.11.2011, 20:22

Цитата(Klar @ 28.11.2011, 22:00)

Необходимо исследовать функцию.

Первые пункты исследования, я немного уверена, но совершенно не могу понять,
1.как возможно доказать периодичность/ не периодичность функции y= (- 6x^2) / ( x + 1)^2.

Функция непериодическая, т.к. не существует такого Т, для которого f(x+T)=f(x)

Цитата

2. Также, как найти критические точки производной второго порядка, интервалы выпуклости, вопуклости, точки перегиба?

Найти производную второго порядка
Найти точки , в которых она равна нулю или не существует
Нанести их на координатную прямую и определить знаки второй производной на каждом из полученных промежутков (по аналогии как вы находили критические точки функции и интервалы монотонности при помощи первой производной)

Автор: venja 29.11.2011, 17:53

Цитата(Klar @ 29.11.2011, 2:00)

интервалы выпуклости, вопуклости ....

Автор: Klar 29.11.2011, 17:59

Цитата(tig81 @ 28.11.2011, 20:22)

Функция непериодическая, т.к. не существует такого Т, для которого f(x+T)=f(x)

Найти производную второго порядка
Найти точки , в которых она равна нулю или не существует
Нанести их на координатную прямую и определить знаки второй производной на каждом из полученных промежутков (по аналогии как вы находили критические точки функции и интервалы монотонности при помощи первой производной)

Спасибо, но как вы практически, математически определили , что не существует такого Т, для которого f(x+T)=f(x) Как вы это сделали, вы что то куда-то подставляли или как?

Автор: tig81 29.11.2011, 19:16

Цитата(Klar @ 29.11.2011, 19:59)

Спасибо, но как вы практически, математически определили , что не существует такого Т, для которого f(x+T)=f(x) Как вы это сделали, вы что то куда-то подставляли или как?

посмотрела, что функция есть отношением двух неперидочиеских функций - многочленов

Автор: venja 30.11.2011, 17:36

Цитата(tig81 @ 30.11.2011, 1:16)

функция есть отношением двух непериодических функций

Строго говоря, это не доказывает непериодичность.

Обычно (если функция не содержит тригонометрических функций) просто говорят, что функция непериодична, не приводя никаких доводов. И преподаватели в этом случае не придираются.

Можно и строго доказать непериодичность: предположив (от противного), что существует такое Т>0, что ДЛЯ ВСЕХ х : f(x+T)=f(x),
где f(x)=(- 6x^2) / ( x + 1)^2.

Берем х=0, тогда для этого Т должно выполняться: (- 6Т^2) / ( Т + 1)^2 = 0. Откуда Т=0. Противоречие.

Автор: Klar 30.11.2011, 21:32

Цитата(venja @ 30.11.2011, 17:36)

Строго говоря, это не доказывает непериодичность.

Обычно (если функция не содержит тригонометрических функций) просто говорят, что функция непериодична, не приводя никаких доводов. И преподаватели в этом случае не придираются.

Можно и строго доказать непериодичность: предположив (от противного), что существует такое Т>0, что ДЛЯ ВСЕХ х : f(x+T)=f(x),
где f(x)=(- 6x^2) / ( x + 1)^2.

Берем х=0, тогда для этого Т должно выполняться: (- 6Т^2) / ( Т + 1)^2 = 0. Откуда Т=0. Противоречие.

Спасибо, огромное)
Вы меня очень выручили. И еще вы не могли бы подсказать , как доказать математически , что у моей функции нет наклонных асимптот?

y= (- 6x^2) / ( x + 1)^2

Автор: venja 1.12.2011, 1:46

У нее есть наклонная асимптота с уравнением y=-6. Правда это горизонтальная прямая, проходящая через точку (-6) на оси у. Но горизонтальная асимптота считается разновидностью наклонных асимптот.

А доказывается это обычным образом: выписывают общее уравнение прямой y=kx+b, затем по известным формулам ищут k и b и получают, что k=0, а b=-6.

Автор: Руководитель проекта 1.12.2011, 4:31

Цитата(Klar @ 1.12.2011, 1:32)

Спасибо, огромное)
Вы меня очень выручили. И еще вы не могли бы подсказать , как доказать математически , что у моей функции нет наклонных асимптот?

y= (- 6x^2) / ( x + 1)^2

Если у вас разделяют понятия наклонных и горизонтальных асимптот, то рассмотрите пределы данной функции при x->+-00.
P.S. Но я согласен с Вениамином, что горизонтальные асимптоты лишь частный случай наклонных.

Автор: Klar 1.12.2011, 18:26

Цитата(venja @ 1.12.2011, 1:46)

У нее есть наклонная асимптота с уравнением y=-6. Правда это горизонтальная прямая, проходящая через точку (-6) на оси у. Но горизонтальная асимптота считается разновидностью наклонных асимптот.

А доказывается это обычным образом: выписывают общее уравнение прямой y=kx+b, затем по известным формулам ищут k и b и получают, что k=0, а b=-6.

Не совсем понятно, что дает нам полученные значения k и b и как их нашли?
Спасибо.

Автор: tig81 1.12.2011, 21:07

Цитата(Klar @ 1.12.2011, 20:26)

Не совсем понятно, что дает нам полученные значения k и b и как их нашли?

Цитата(venja @ 1.12.2011, 3:46)

y=kx+b,

уравнение наклонной асимптоты