Версия для печати темы

Автор: Паша22 25.11.2011, 9:27

Добрый день! Помогите, пожалуйста, разобраться еще с одной задачей
Решил разобратся с нормальным распределением, кое-что пока не понимаю.

Случайная величина Х подчинена нормальному закону N{10,9}, т.е. a=10, σ=3.Найти интервал, в который с вероятностью 0,8812 попадет среднее значение при 100 испытаниях этой величины.

Здесь спрашивается про вероятность попадания в интервал СВ, равной среднему арифметическому при ста испытаниях?

Если это так, пробую решать дальше
Хср = 1/100* Σ Хi
Нахожу матожидание и сигму этой средней (Хср тоже распределена по норм. закону) :
М(Хср) = а =10
σср =3/10=0,3

Дальше
Р(|Хср – 10| < δ) ≈ 2Ф(δ/ σср) = 0,8812
Из таблиц
δ/ σср = 1,56 δ= 1,56*0,3= 0,468 ≈ 0,47

-0,47 ≤ Хср – 10 ≤ 0,47
9,53 ≤ Хср ≤ 10,47

А, про интервал спрашивается.
Интервал [10- δ; 10+ δ] δ= 0,47

Проверьте пожалуйста мое сочинение и укажите ошибки. Спасибо.

Автор: malkolm 25.11.2011, 13:32

Неверно вычислили дисперсию среднего арифметического.

Автор: Паша22 25.11.2011, 14:57

D(Хср)=1/1002* ΣD(Хi) = 1/1002* Σσ2 = 1/1002 *100 σ2 = σ2/100

σср =√D(Хср)= √σ2/100 = σ/10=0,3

Не нашел ошибку. Я эту строку вычислений пропустил (опустил)

Автор: malkolm 25.11.2011, 15:13

И правда, что-то мне привиделось не то Верно, верно.

Автор: Паша22 7.12.2011, 10:04

Здравствуйте! malkolm, большое спасибо!
Вот назрел очередной вопрос, проверьте пожалуйста мое сочинение
Задача
Сколько нужно произвести измерений, что бы с вероятностью равной 0.9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0.03 ?

Решение
Хср = 1/n* Σ Хi
σ= 0,03 δ=0,01
Р(|Хср – М(Хср )| < δ) ≈ 2Ф(δ/ σср)

/* Нахожу σср */
D(Хср)=1/n2* ΣD(Хi) = 1/n2* Σσ2 = 1/n2* [n*σ2] = σ2/n
σср =√D(Хср)= √( σ2/n) = σ/√n

Подставляя:
2Ф(δ/ σср) = 2Ф[(δ* √n) /σ]

По условию
2Ф[(δ* √n) /σ] = 0,9973 => (δ* √n) /σ = 3 => (0.01* √n )/0.03 = 3 =>
√n = 3*0.03/0.01 =9

n=81
Это верно ?

Автор: malkolm 7.12.2011, 13:11

Верно.

Кстати, вопрос в задаче поставлен глупо: а если бы n оказалось нецелым числом, ответ на вопрос был бы "нисколько"? Умный вопрос должен был звучать так: сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью не менее 0,9973 утверждать, что (далее по тексту). Ответом на него тогда было бы "81 или более".

Автор: Паша22 20.12.2011, 13:39

Здравствуйте 'malkolm'. Большое спасибо. Пожалуста вернемся к нашим "баранам"
То есть к этой же задаче:
Сколько нужно произвести измерений, что бы с вероятностью равной 0.9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0.03 ?

Кремер стр. 244 з-ча 6.22
Текст тот же самый (семь раз прочитал), а ответ n >= 3333 (?)

Понял, что решили данную задачу используя следствие т-мы Чебышева, т.е. n нашли из условия
1-С/(n*e^2) >= 0.9973 где С=(0.03)^2 (сигма в квадрате)

Теперь я уже ничего не понимаю...
Не знаю как обстоит с теоремой Чебышева, но обычно найденная вероятность с помощью неравенства Чебышева (точнее её оценка, верхняя или нижняя граница) не противоречит вероятности, вычисленной по инт. т-ме Лапласа, причем по Лапласу определяется гораздо точнее (у меня так всегда было).

Может немного путано объяснил проблему, вот еще раз покороче:
Решил эту задачу (cообщение 3), получил ответ n>=81. Ответ в учебнике Кремера n >= 3333
(с моим ответом расхождения значительные). Противоречие.

Как понимать решение, подразумеваемое в учебнике Кремера?
Спасибо.

Автор: malkolm 20.12.2011, 14:54

Не вижу никаких противоречий. Разве числа, большие 3333, не больше восьмидесяти одного?

Автор: Паша22 20.12.2011, 16:02

А, перепутал вероятности с числом испытаний n.
По одному варианту решения это число не может быть меньше 81, по другому - не меньше 3333.
И что, совместно решать??? Нет наверно((

Верное решение тогда какое?

Автор: malkolm 20.12.2011, 16:30

Абсолютно неверный вывод. Откуда Вы решили, что число не может быть меньше 3333? Разберитесь с решением по НЕравенству Чебышёва, всё станет ясно.

Автор: Паша22 20.12.2011, 16:40

Похоже задаю воросы один глупее другого... пошел разбираться ((

Автор: malkolm 21.12.2011, 10:50

Ну, во всяком случае, когда будете разбираться, слова "равной 0,9973" заменяйте в задаче на слова "не меньшей 0,9973". А то и неравенство Чебышёва ни при чём окажется. Это г-н Кремер коряво сформулировал.

Автор: Паша22 27.12.2011, 17:04

Хср = 1/n* Σ Хi
σ= 0,03 δ=0,01
а) По неравенству Чебышева (справедливо для любой сл. величины):
Р(|Хср – М(Хср ) | ≤ δ) ≥ 1- D(Хср )/e2 (*)

Нужно найти n, при котором
Р(|Хср – М(Хср ) | ≤ δ) ≥ 0,9973 (**)

D(Хср)=1/n2* ΣD(Хi) = 1/n2* Σσ2 = 1/n2* [n*σ2] = σ2/n

Правая часть (*):
1- D(Хср )/e2 = 1- σ2/(n* e2)

Из (*) и (**) следует

1- σ2/(n* e2) ≥ 0,9973 => 0.0027 ≥ 0.032/(n*0,012) => n ≥ 9/0.0027 = 3333.33

б) Используя следствие из интегр. т-мы Лапласа (т.к. измерения независимы) :
Р(|Хср – М(Хср )| < δ) ≈ 2Ф(δ/ σср)

2Ф(δ/ σср) = 2Ф[(δ* √n) /σ]
По условию
2Ф[(δ* √n) /σ] ≥ 0,9973 => Ф[(δ* √n) /σ] ≥ Ф(3)
Т.к. ф-ция Лапласа возрастающая, следует (δ* √n) /σ ≥ 3 =>
(0.01* √n )/0.03 ≥ 3 =>
√n ≥ 3*0.03/0.01 = 9 => n ≥ 81
Получили более точное значение числа измерений

С Новым годом и Рождеством!

Автор: malkolm 27.12.2011, 20:52

Совершенно точно. Спасибо, и Вас с наступающим НГ!