Версия для печати темы

Автор: nirta 22.6.2011, 15:53

Всем доброго времени суток!
Готовлюсь к экзамену по теории вероятностей и столкнулась с вот такой задачей:

Монетку бросают до тех пор, пока не выпадут 2 решки подряд. Какова вероятность того, что придется бросать монетку более 3 раз?

Я пробовала решать так:
За элементарный исход взяла упорядоченную тройку <a,b,c>, где a - 1 результат броска монеты, b и c, соответственно, второй и третий. А событие А - что монету бросают не более 3 раз, и выпали 2 решки подряд.
Количество вариантов того, как ляжет три раза монетка, - 8. Из них 3 нам подходят => P(A)=3/8.
А вероятность того, что монетку придется бросать более 3 раз, чтобы получить желаемый результат: P(B )=1-P(A) (B-дополнение к А)

Насколько правильно я решала эту задачу?
Заранее спасибо!

Автор: malkolm 23.6.2011, 18:39

Правильно.

Автор: граф Монте-Кристо 23.6.2011, 19:09

Если уж говорить по-хорошему, то РРО и РРР - это один вариант.

Автор: malkolm 24.6.2011, 15:54

Нет, по такому "хорошему" говорить ничего не стоит. Стоит повторить классическое определение вероятности.

Автор: граф Монте-Кристо 24.6.2011, 16:19

Я имел в виду, что в данном случае только два элементарных исхода удовлетворяют условию - это РР и ОРР. Или я не прав?

Автор: malkolm 25.6.2011, 14:57

Нет, Вы не правы. Элементарного исхода "РР" во введённом пространстве из 8 равновозможных элементарных исходов нет, а событие "РР" состоит из двух элементарных исходов РРР и РРО.

Автор: граф Монте-Кристо 25.6.2011, 17:08

Насколько я знаю, элементарное событие — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Исходов РРР и РРО не может произойти в данном эксперименте, потому что подбрасывание монеты закончится после второй Р.

Автор: malkolm 25.6.2011, 19:52

Элементарное событие - это элемент произвольного непустого множества. Каким образом связать это множество с физическим экспериментом - проблема матмодели. Вы не умеете задать модель опыта так, чтобы было применимо классическое определение вероятности. Ну а ТС умеет, вот и вся разница.

Автор: граф Монте-Кристо 25.6.2011, 20:55

Вот модель эксперимента в моём представлении.
Элементарных событий может быть два - выпадение орла или решки. Эксперимент - многократное подбрасывание монеты. Исследуемое событие в этом эксперименте - выпадение двух решек подряд.
Для нахождения вероятности события можно рассмотреть противооложное событие. Его вероятность определяется вероятностью двух возможных исходов - РР и ОРР.
Вообще, в первом моём посте я хотел сказать, что пространство элементарных исходов не совсем корректно соответствует условию.
Поправьте, если ошибаюсь.

Автор: malkolm 26.6.2011, 7:38

Уже трижды поправила, не помогает.

Вы противоречите сами себе:

Опишите, пожалуйста, пространство элементарных исходов, связанное, ну, скажем, с четырьмя испытаниями схемы Бернулли.

Автор: граф Монте-Кристо 26.6.2011, 10:42

Да, виноват. Это при каждом подбрасывании может быть два элементарных исхода.
Схема Бернулли - 4 раза подбрасывается монета. Следовательно, возможно 16 равновероятных исхода - от РРРР до ОООО.
Но в том-то и дело, что в данной задаче не схема Бернулли! Здесь число подбрасываний не ограничено, поскольку зависит от результатов предыдущих подбрасываний монеты. А в схеме Бернулли количество опытов строго ограничено.

Автор: venja 26.6.2011, 15:06

Ирина, я опять в непонятках

Автор: malkolm 26.6.2011, 16:07

Это раздвоение личности


В данной задаче - схема Бернулли. Но схема Бернулли - не то, что Вы думаете. И давайте, Вы познакомитесь хотя бы с основными определениями?

Автор: граф Монте-Кристо 26.6.2011, 17:46

Я ознакомился, просто хочу разобраться.
Хорошо, значит, ограниченность числа испытаний роли не играет. Но ведь не будете же Вы спорить с тем, что исходов РРО и РРР в опыте быть не может?

Автор: tig81 26.6.2011, 19:15

Вениамин, не Вы одни.

Автор: malkolm 27.6.2011, 3:13

О'k, "хочу разобраться" - это хороший аргумент.

Буду, конечно. Ничто не мешает рассматривать все возможные мыслимые варианты продолжения испытаний. Элементарные исходы исходного эксперимента есть события на множестве всех последовательностей из нулей и единиц. Например, элементарный исход 01011 опыта, описанного в условии, есть множество всех последовательностей, начинающихся с набора 01011. Точно то же самое, если нас интересуют лишь события, связанные с первыми, скажем, тремя испытаниями. Так, исход 11 в Вашем пространстве = событие {110, 111} в пространстве ТС.

Доведу до абсурда. Вас же не смущает выбор пространства исходов в следующей постановке задачи: "На (единичный) отрезок наудачу бросается точка, и нас будет интересовать лишь попадание этой точки в 1-ю, 2-ю, 3-ю трети отрезка. Какова вероятность ей попасть в 1-ю треть?"
В этом эксперименте три элементарных исхода? Однако ничего не мешает вместо Ω = {1,2,3} завести пространство элементарных исходов Ω = [0, 1]. Или другой качественный пример. Бросаются две внешне неразличимые монеты. Вы будете рассматривать пространство из трёх исходов - два герба, две решки, герб и решка? Ведь других реально нет, монеты неразличимы внешне? Однако с точки зрения желания использовать классическую вероятность придётся их различить насильно и рассматривать 4 исхода.

Ещё раз: источник непонимания - догматически понятая фраза "элементарные события - это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один". Если ограничить изучение ТВ первыми двумя лекциями, то так оно и будет: сначала - эксперимент, он порождает конкретное пространство, вот с ним и возимся. Математика - в стороне, ТВ есть физическая наука.
Так было до 30-х годов ХХ века. С тех времен в ТВ появилась аксиоматика, сделавшая её математической наукой. В теории вероятностей, как и вообще в математике, НЕТ никаких случайных экспериментов. И вообще никаких физических процедур: монеток, колод карт, подбрасываний и т.п. А есть множество всяких разных вероятностных пространств и математических объектов, с ними связанных. Вопрос о том, КАК приклеить конкретное вероятностное пространство к данной реальной (из физического мира) задаче - это вопрос соответствия свойств данной вероятностной модели и тех, какие мы ожидаем увидеть в эксперименте.
В разделах, связанных с элементарной вероятностью (классическая, геометрическая вероятности, схема Бернулли и т.п.) как раз и рассматриваются варианты (самые удобные, но не единственно возможные!) привязки математических моделей к более-менее реальному миру. Например, "подбрасывание идеальной монеты" вполне себе описывается вероятностным пространством Ω={7, 33} с сигма-алгеброй F={Ω, {7}, {33}, Ø} и вероятностной мерой P(7)=P(33)=1/2. Так же, как и явно избыточно богатым пространством Ω={1, 2, 3, 4} с сигма-алгеброй F={Ω, {1, 2}, {3, 4}, Ø} и вероятностной мерой P({1, 2})=P({3, 4})=1/2. И ещё безумным количеством других вероятностных пространств, на которых есть хоть что-то с вероятностью 1/2.

Автор: malkolm 27.6.2011, 3:44

Ну, если издалека глядеть, то даже Томск от Новосибирска неотличим, что уж о поле говорить

Автор: граф Монте-Кристо 27.6.2011, 17:02

malkolm, спасибо за развёрнутое объяснение Вроде как стало понятнее.