Версия для печати темы

Автор: sts96 22.5.2011, 14:31

Прошу помочь в решении.
Думаю, что нужно использовать аксиомы линейного пространства, но не знаю, как оформить.

Определить, будет ли линейным пространством относительно линейных операций над матрицами-строками множество всех строк, сумма всех элементов которых равна нулю.

Автор: tig81 22.5.2011, 20:50

Что делали? Что не получается?
Что называется линейным пространством? Какие аксиомы должны выполняться?

Автор: sts96 23.5.2011, 5:31

Непустое множество V называется линейным пространством над полем F, если выполняются аксиомы линейного пространства.
Аксиомы линейного пространства практически совпадают со свойствами линейных операций над матрицами (сложение и умножение). Значит пространство будет линейным? Смущает фраза в задании "сумма всех элементов которых равна нулю".

Не судите строго за возможно глупые вопросы. Изучаю предмет сама, тяжело доходит, а спросить не у кого.

Автор: tig81 23.5.2011, 5:43

Практически, но не одни и те же.

А вы их проверили, выполняются они для вашего множества?

Конкретно запишите аксиому, которую проверяете и запишите, что вы делали.
Как выглядит матрица-строка? Как записать, что сумма элементов строки равна нулю?

Автор: sts96 23.5.2011, 6:48

возьмем,к примеру, 3 матрицы:
матрица-строка 1: а11+а12+а13+...а1n=0
матрица-строка 2: a21+a22+a23+...a2n=0
матрица-строка 3: а31+а32+а33+...а3n=0

мне кажется, что операции сложения будут выполняться (коммутативность, ассоциативность), а операции умножения нет.

Автор: tig81 23.5.2011, 6:54

Ну это не совсем матрицы-строки, а записано условие, которое должно для них выполняться.

Вам кажется или вы это проверили?

Автор: sts96 23.5.2011, 7:05

если я правильно поняла, то матрица-строка имеет одну строку и выглядит, например, так:
а1=(а11 а12 а12...а1n)

матрицы-строки нельзя умножить одну на другую, т.к. число строк одной матрицы не совпадает с числом столбцов другой матрицы.

Автор: tig81 23.5.2011, 7:08

Например, да. Либо А=(а1, а2,..., аn), чтобы не таскать по два индекса

Это какую аксиому вы хотите проверить?

Автор: sts96 23.5.2011, 7:16

видимо это вытащила из свойств линейных операций над матрицами....

сама себя уже запутала, и тему никак не могу понять....

Автор: tig81 23.5.2011, 7:23

Еще раз задаю вопрос, на который так и не получила ответ: какие аксиомы надо проверить? Конкретно их запишите.

Автор: sts96 23.5.2011, 7:38

1. x+y=y+x, для любых x,y принадлежащих ЛП (коммутативность сложения);
2. x+(y+z)=(x+y)+z, для любых x,y,z принадлежащих ЛП (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент 0 принадлежащий ЛП, что x+0=x для любого x придлежащего ЛП (существование нейтрального элемента относительно сложения);
4. для любого x принадлежащего ЛП существует такой элемент -x, принадлежащий ЛП, что x+(-x)=0 (существование противоположного элемента).
5. a(bx)=(ab)x (ассоциативность умножения на скаляр);
6. 1*x=x (умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
7. (a+b )x=ax+bx (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. a(x+y)=ax+ay (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Автор: tig81 23.5.2011, 8:32

Замечательно. Давайте теперь проверяйте для заданного множества.

П.С. Видите, свойства, в котором две строки надо перемножать, нет.

Автор: sts96 23.5.2011, 8:47

под x,y,z подразумеваются элементы разных матриц?

Автор: tig81 23.5.2011, 8:58

Подразумеваются разные матрицы-строки.
Т.е.

Здесь х - матрица-строка, у которой сумма элементов равна 0;
у - матрица-строка, у которой сумма элементов равна 0.
Т.е. это элементы выше указанного вами вида.

П.С. Если словами сказать, то вам надо показать, что суммой двух матриц-строк, у которых сумма элементов равняется нулю, есть матрица-строка, сумма элементов которой равна 0.

Автор: sts96 23.5.2011, 9:14

это мне понятно. получается вторая аксиома аналогично. 3,4,6 тоже понятно как показать. а вот 5,7,8 не совсем понятно.

Автор: tig81 23.5.2011, 9:17

Что там не понятно? Конкретно.

a,b - это некоторые константы. Проверьте выполнение равенства.

П.С. А в 6 что получили?

Автор: sts96 23.5.2011, 9:30

1*а1+1*а2+1*а3...+1*аn=a1+a2+a3+...an=0

Автор: tig81 23.5.2011, 9:34

Т.е. в качестве тождественного элемента выбираете строку (1, 1, 1,..., 1)? Но эта строка не является элементом рассматриваемого множества, т.к. сумма ее элементов е равна нулю.

Автор: sts96 23.5.2011, 9:40

если выбрать строку (1,-1,1...-1), тогда кол-во элементов матрицы-строки должно быть четным.

Автор: tig81 23.5.2011, 9:52

Но у вас не сказано, какое n+ в таком случаем после умножения сумма элементов полученной матрицы-строки уже не будет равняться нулю.

Автор: sts96 23.5.2011, 9:53

не сказано. тогда получается, что аксиома 6 не выполняется и пространство не будет линейным. точнее будет выполняться только при условии, что количество элементов матрицы-строки п - четное.

Автор: tig81 23.5.2011, 13:13

Ну то, что у вас не получилось для опредленной матриы, это еще не означает, что она не выполнялась. Возможно здесь имеется другой нейтральный элемент.

И в этом случае не будет выполняться.

Автор: sts96 23.5.2011, 15:21

имеете ввиду нейтральный элемент - ноль?

Автор: граф Монте-Кристо 23.5.2011, 16:17

В 6й аксиоме единица должна принадлежать множеству действительных (а в общем случае - комплексных) чисел, а не быть элементом линейного пространства.

Автор: sts96 23.5.2011, 16:44

не понимаю, извините...

Автор: граф Монте-Кристо 23.5.2011, 17:09

Я говорю о том, что в аксиоме №6 необходимо показать существование такого числа, условно обозначенного как 1, что, при его умножении на любой элемент из Вашего линейного пространства этот элемент не меняется.
Другими словами, обычная единица вполне подойдёт

Автор: sts96 23.5.2011, 17:51

я тоже думала, что единица подойдет, но мне сказали, что это неверно.

Автор: граф Монте-Кристо 23.5.2011, 17:57

Вам надо было сказать,что в качестве единицы Вы выбрали обычную единицу,а не строку (1,1,1,...1). Вообще-то, в линейных пространствах не определяется умножение элементов.

Автор: tig81 23.5.2011, 18:33

Что-то зарешалась

Автор: sts96 24.5.2011, 3:41

т.е. получается что все-таки все аксиомы выполняются и пространство будет линейным?

Автор: граф Монте-Кристо 24.5.2011, 20:12

Да.

Автор: sts96 25.5.2011, 3:39

Спасибо за разъяснения.



Спасибо за помощь в решении.

Автор: tig81 25.5.2011, 6:07

Удачи!

Автор: Рггу 7.6.2011, 13:16

Помогите провести проверку аксиом,ПОЖАЛУЙСТА!

Автор: граф Монте-Кристо 7.6.2011, 16:34

Что не получается?
Не пишите в старых темах, создавайте новые.