Версия для печати темы

Автор: kcandr 6.5.2011, 19:54

Необходимо проверить формулу дисперсии http://upload.wikimedia.org/math/9/0/2/9029bc13de1327b925700044f0be17fe.png .
Проверка условия, что степени свободы должны быть больше 2х получилась, а вот
вывести саму формулу в общем виде не удается. Получить её надо из http://upload.wikimedia.org/math/1/4/d/14d55f9967ae31948fbca700c96a9646.png
Попытался использовать определение дисперсии. То есть домножил на x^2 плотность и пытался взять интеграл Но что-то я не понимаю как мне с ним обращаться.
Вот тут прошу помощи у Вас. Подскажите пожалуйста, можно ли как-то еще доказать эту формулу, или как (и какой! потому что я сильно сомневаюсь в том, что получился http://i005.radikal.ru/1105/7e/1737e27ad865.jpg . То есть надо ли было раскрывать гамма-функцию или можно было бы как-то с ней самой сделать) брать интеграл.

Автор: malkolm 7.5.2011, 12:36

Гамма-функция при любом фиксированном значении аргумента - это число. Константа. Например, Г(n)=(n-1)! при целом положительном n.

Вынесите эти нормирующие константы в плотности из-под знака интеграла и берите собственно интеграл.

В интеграле сначала воспользуйтесь чётностью подынтегральной функции и сверните его вдвое. После этого интеграл от 0 до +оо заменой x^2 = n*t/(1-t) сводится к бета-функции.

Автор: kcandr 8.5.2011, 10:01

Если я Вас правильно понял, то получается что-т подобное http://s42.radikal.ru/i098/1105/86/ae23022c1846.jpg
Если так, то не могли бы подсказать свойства гамма-функции, которые помогут как-то это упростить? Найденные свойства из вики и где-то еще формула Г(-z) дело не упрощают.

Только двойку потеря, когда интеграл сворачивал по свойству четности

Автор: malkolm 9.5.2011, 5:16

Боже, что это было?..
Во-первых, интегрла по всей прямой НЕ равен интегралу по полупрямой.
Во-вторых, гамма-функции не былвают от отрицательного аргумента. Не существуют.
В третьих - см. определение бета-функции.

Автор: kcandr 9.5.2011, 10:24

Я поправился с двойкой

Тогда мне непонятна эта формула http://algolist.manual.ru/maths/count_fast/gif/gammaneg.gif

Автор: malkolm 9.5.2011, 12:39

Здесь z комплексное, да ещё и с нулевой действительной частью. Посмотрите на интеграл от x^{a-1}*exp(-x)dx и увидьте, что он в нуле расходится при a <= 0!

Не понимаю, в чём проблема. Под интегралом t есть? Степень у него есть? (1-t) есть? Степень у него есть? Границы изменения t от 0 до 1 есть? Даже выражение для бета-функции через интеграл написано. Сравнивайте почленно определение и имеющийся интеграл.

Автор: kcandr 9.5.2011, 12:49

Я так понял, что это из-за того, что я за t которое было в определении бета-функции стал принимать свои t/(1-t) при том, что дифференциал остался как был. Или я опять неправ?

Автор: malkolm 9.5.2011, 16:59

Разумеется. Для того и делали замену, чтобы t менялось от 0 до 1, а под интегралом окаазались степени t и 1-t.

Так получилось что-нибудь?

Автор: kcandr 10.5.2011, 15:56

Да, хотя вычисление самой гамма-функции разбирать прищлось с преподавателем спасибо большое за объяснение.