Версия для печати темы

Автор: leya 23.4.2011, 11:30

2) распределение случайной величины кси задано таблицей
k -3 -1 0 1
Pк 1/5 1/5 2/5 1/5
вычислить мат.ожидание кси
дисперсию кси
энтропию кси
и распределение n=(кси-1)^4


мат.ожидание кси = -3*1/5+-1*1/5+0+1*1/5 (могу ли я вычислять по этой формуле если таблица у меня не от кси?)

Автор: malkolm 23.4.2011, 14:56

Непонятен вопрос. Матожидание кси записано верно.

Автор: leya 23.4.2011, 16:52

но ведь таблица мне дана не от кси...а от к?
или это не имеет значения?

Автор: leya 23.4.2011, 17:03

ммм ну если это не имеет значения тогда мат. ожидание равно -3\5
для дисперсии ищем мат ожидания для квадрата
для этого переписываем таблицу исходную для квадратов...
и в итоге
дисперсия=11\5-9\25=1.84

правильно?

насчет энтропии я запуталась...там много формул для нее я не знаю какая подойдет именно сюда...выбираю между двумя(

а энтропия=-1\5*log(2)1\5-1\5*log(2)1\5-1\5*log(2)1\5-2\5*log(2)2\5=1.91
или она рассчитывается по формуле
-мат.ожидание* сумму(натуральный логарифм от p) и тогда это будет - 3.44...

Автор: leya 23.4.2011, 17:39

а для распределения

у нас будет таблица

n 0 1 16 256

p 1\5 2\5 1\5 1\5

или она как то по хитрому строится...
просто я подставила в формулу вместо кси значения...
и рассчитала 4 значения n а потом нарисовала что то вроде графика...
и соединила стрелками какая вероятность какому значению стала соответствовать...

Автор: venja 24.4.2011, 2:19

Это, думаю, опечатка. Должно стоять кси.


верно

Автор: leya 24.4.2011, 6:52

а энтропию по какой формуле считать?

Автор: malkolm 24.4.2011, 11:07

А таблица всегда от k. Или от j. Или от a_m. Или от x_n. В таблице перечисляются возможные значения случайной величины, не важно какой буквой обозначенные. А снизу - вероятности принимать эти значения.

Энтропия - минус сумма вероятностей, умноженных на двоичные логарифмы тех же вероятностей. Так что в первый раз Вы её посчитали верно. Ну и распределение величины "эта" тоже нашли верно.

Автор: leya 24.4.2011, 16:09

спасибо большое)))

а у меня еще 2 задачи есть...)))

1)прямые разбивают плоскость на равносторонние треугольники со стороной 16 определить вероятность того что монета диаметра 2 наугад брошенная на плоскость не пересечет ни одной прямой

вот мои мысли про нее...

не знаю как оформить потому что она больше интуитивно решена...

пусть А - событие состоящее в том что брошенная на плоскость монета радиуса 1 не пересечет ни одну из сторон треугольника
областью является треугольник со стороной 16 т.е может занимать центр данного круга...
определим w как препятств. возникновению события А т.е. как треугольник со сторонами 14 который может занимать центр данного круга...

m(oбщее)=110.85
m(w)=84.87
p(A)=0.76

Автор: leya 24.4.2011, 16:32

вот а вторая задача
3) дана функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины кси
F(x)=0, x<=0
Cx^2,x принадлежащем (0,5]
1,x>5
найти С
мат.ожидание кси
дисперсию кси
энтропию кси
и распределение n=1/кси


здесь я совсем не уверена в формулах...вот допустим константу я нахожу как-


так я вот тут напутала...мне же нужно еще рассчитать
0,x<=0
p(x) 2Cx, принадлежащем (0,5]
а вот от 1....производная же 0....то есть еще будет 0, x>5

и отсюда уже все это выражать...

интеграл(от минус бесконечности до +беск.) p(x)dx=1
интеграл(от -беск. до 0)0dx+интеграл(от 0 до 5) 2сxdx+интеграл(от 5 до +беск.)0dx=
отсюда С=1\25

Мат ожидание = 10\3
мат ожидание от x^2=12.5
а дисперсия у меня получилась 25\18

а насчет энтропии и распределения я пока еще думаю...

Автор: leya 24.4.2011, 17:24

для распределения...ну вот как я понимаю...
p(1\кси<x)=p(кси>1\x)

а дальше не знаю...

а энтропия...
опять же если я правильно взяла формулу....
=интеграл(от 0 до 5) 2\25*x*log(2)2\25*xdx=2.04

Автор: malkolm 24.4.2011, 19:48

Чтобы монета не пересекла стороны треугольника, её центр долен упасть не ближе, чем на 1 см от стороны. Это, по-моему, треугольник со сторонами никак не 14. Проведите внутри большого треугольника линии на расстоянии 1 см от его сторон.




И зачем, интересно, нужна плотность для вычисления С? Прочтите задачу: дана функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины. Как минимум, отсюда следует непрерывность её функции распределения. Откуда и находится С.




А дальше - выразить эту вероятность через функцию распределения, и всё. Энтропия - верно, а вычисления проверять лень.

Автор: leya 25.4.2011, 5:51

ну у нас же F это первообразная....а когда мы находим С нам же нужно f...
разве нет?

Автор: leya 25.4.2011, 6:05

эх...у меня получилось 13 см треугольник....

m(общее)=110.85
m(w)= 73.17
p(a)=0.66

Автор: malkolm 25.4.2011, 9:33

Функция распределения абсолютно непрерывного закона распределения непрерывна. Это свойство Вам знакомо? График F рисуем или иным способом смотрим на неё и делаем её непрерывной выбором С.


Нет, не 13. Не знаю, как Вы там что вычисляете. Длина стороны маленького треугольника должна быть 16-2*sqrt(3).

Автор: leya 25.4.2011, 13:08

точно не 13 я согласна уже сама...но чет я теперь начала через геометрию считать...
и у меня получается ровно 12 а не 12.5 как по вашей формуле....

ну я как рассуждаю)))) равносторонний треугольник....все углы 60 градусов....проводим высоту....по теореме пифагора....она = 8 корней из трех...

так как по 1 см отступаем от каждой стороны....то мы можем из 8sqrt3 вычесть 2 и получить высоту нового треугольника.... (единственное меня вот тут смущает...то что я по сути от вершины 1 см убираю...и видимо здесь неправильно получается...)

в котором мы знаем эту высоту....и то что углы в нем все также 60 градусов...
и опять же составляем теорему пифагора.... x^2=1\4x^2+108
в итоге x = 12....

это очень неправильно? просто мне уже интересно(((

эххх...если брать по формуле которую написали вы...

то мы получаем

m(общее)=110.85
m(w)= 68
p(a)=0.61

Автор: leya 25.4.2011, 13:27

если мы рисуем график....

у нас получается до 0 прямая по х....потом кусочек параболки для которой мы ищем с...и потом прямая в единице...

ну вот С по рисунку получается все равно 1\25....
потому что если подставим х=0 получим 0 по у...
если подставим х=5....получим 1 по у....

через плотность просто в принципе нельзя считать? или я и сейчас неправильно думаю?....
просто там же все равно и для мат. ожидания и дисперсия нужна плотность...почему бы и с через нее не найти...

Автор: malkolm 25.4.2011, 14:52

Именно. 1 см снизу, а разве сверху будет тоже 1 см???



Да.

Да можно, только это демонстрирует сразу и непонимание свойств функции распределения абсолютно непрерывного закона, и непонимание её связи с плотностью. (Например, мне как преподавателю. А думаете, Ваш преподаватель по-другому устроен? )
Есть готовая ф.р. Вы сначала её дифференцируете, а потом снова интегрируете, чтобы приравнять интеграл к единице. Вместо того, чтобы к единице приравнять уже данную заранее первообразную.

Автор: leya 25.4.2011, 15:13

... то есть можно было сразу написать

сх^2 (пределы интегрирования от 0 до 5)= 1
?

Автор: leya 25.4.2011, 15:48

а откуда берется вот это?
Длина стороны маленького треугольника должна быть 16-2*sqrt(3)

вот мы описываем вокруг треугольника окружность ее радиус=(16\sin 60...)\2
потом вычитаем из радиуса 2 и получаем новый радиус....

то есть 2*(16\sqrt3-2)=2x\sqrt3
и в итоге
х=16-2 корня из трех
да?

Автор: leya 25.4.2011, 16:23

ммм так...а распределение...

вот у меня получается что p(кси>1/x)

то есть мне нужно вычислить интеграл

...от 1\х до +беск. (2сt) dt ? но это опять через плотности


или у меня еще есть предположение...не знаю насколько верное(

что для n F(x)
0,x<=0
-1\(25*x^3) при x от 0 до 5
0,х>5

Автор: malkolm 25.4.2011, 18:24

Можно, но не нужно. Ещё раз: функция распределения у абсолютно непрерывного распределения НЕПРЕРЫВНА. Стало быть, в точке 5 должна быть такая же, как справа от неё, т.е. 1. Это и есть полное приращение первообразной от плотности.




Ну например, так. Не знаю, тут всяк по-своему считать привык. Теоремы Пифагора вполне достаточно, чтобы посчитать все соотношения маленького треугольника и большого.



Разве плотность равна 2ct до бесконечности??? Или до 5, а дальше нулю? В чём Вы правы, так это в том, что при готовой функции распределения снова заниматься интегрированием плотности - странно.


Не смущает отрицательность функции распределения? "И ничего, и ничего, и ничего...."?

Сделайте по этой задаче то, что выше советовано: выразить эту вероятность P(кси > 1/x) через функцию распределения.

Автор: leya 25.4.2011, 19:14

я не понимаю как я могу выразить неравенство через неравенство....

я же не могу подставить это вместо х...

можно на каком нибудь абстрактном примере хотя бы?...

Автор: malkolm 25.4.2011, 19:19

Хорошо. Выражаем одно через другое для совершенно произвольной случайной величины кси:
F(x) = P(кси ... ?)
F(7) = P(кси ... ?)
P(кси < 3) = ?
P(кси < z) = ?
P(кси >= z) = ?
P(кси >= 2) = ?
P(кси < 1/x) = ?
P(кси >= 1/x) = ?

Автор: leya 25.4.2011, 19:30

F(x) = P(кси < = x)
F(7) = P(кси <=7)


P(кси < 3) = F(x<3)


я по моему что то не то делаю...да?

Автор: malkolm 25.4.2011, 19:34

Да. Не то. Откройте учебник и выучите определение функции распределения.

Автор: leya 25.4.2011, 19:43

Определение. Функцией распределения вероятностей, или просто функцией распределения (иногда применяют термин кумулятивная функция распределения) случайной величины , называется функция F(х), равная для любого значения x вероятности события кси<=x :

то есть F(х)=p(кси<=x)

а дальше я по аналогии пытаюсь делать...

Автор: malkolm 25.4.2011, 19:47

Ну тогда чуть изменю вопросы:

F(x) = P(кси ... ?)
F(7) = P(кси ... ?)
P(кси <= 3) = ?
P(кси <= z) = ?
P(кси > z) = ?
P(кси > 2) = ?
P(кси <= 1/x) = ?
P(кси > 1/x) = ?

Автор: leya 25.4.2011, 19:51

ну вот просто если в лоб...по аналогии

F(x) = P(кси <=x)
F(7) = P(кси <=7)
P(кси <= 3) = F(3)
P(кси <= z) = F(z)

P(кси <= 1/x) = F(1/X)
про эти сейчас еще поищу(((
P(кси > 1/x) = ?
P(кси > z) = ?
P(кси > 2) = ?

Автор: malkolm 25.4.2011, 19:53

Верно.

А как связаны события {кси <= 3} и {кси > 3}? И как поэтому связаны их вероятности?

Автор: leya 25.4.2011, 19:55

p(a<кси<b)=F( ( b )-F(a) вот если можно этим тут пользоваться то я бы делала так(

P(кси > 1/x) = -F(1/x)
P(кси > z) = -F(z)
P(кси > 2) = -F(2)

Автор: malkolm 25.4.2011, 19:59

ВЕРОЯТНОСТЬ НЕ БЫВАЕТ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ !

Автор: leya 25.4.2011, 20:12

не бывает(...
и от 0 до 1 оно(((

но там либо интервал p(a<кси<b)
либо неравенство(((

про больше ничего не могу найти

Автор: malkolm 25.4.2011, 20:14

???

Автор: leya 25.4.2011, 20:20

F(X)=1 при кси>=b

но это если интервал все равно...

ну я их могу связать только так что они происходят на всем интервале...от минус бесконечности до + бесконечности....

как связаны события {кси <= 3} и {кси > 3}? И как поэтому связаны их вероятности?

ну вот это тот самый интервал и есть(((

р(3<кси<=3)=f(3)-f(3)

по моему чушь(

Автор: malkolm 25.4.2011, 20:21

Вообще-то, чем по 10 раз повторять один и тот же совет, дожидаясь, покуда кто-то им воспользуется, я с гораздо большим удовольствием спать пойду... Четвёртый час на дворе, однако...

Как связаны следующие события:

A = {Вася курит}, B={Вася НЕ курит}?
A={Петя лысый}, B={Петя НЕ лысый}?
A={Очков ноль}, B={очков НЕ ноль}?
A={Попаданий меньше пяти}, B={попаданий НЕ меньше пяти}?
A={Кси больше трёх}, B={кси НЕ больше трёх}?

Знаете, кроме проблем с определениями и свойствами, вижу обычную проблему: попробуйте читать формулы вслух? Обязательно вслух! По нескольку раз, пока смысл формулы не станет понятен... Кроме всяких шуток.

Автор: leya 25.4.2011, 20:26

ну с васей понятно...он либо курит либо нет(((( то есть они не связаны?

либо одно событие....это отрицание другого

Автор: malkolm 25.4.2011, 20:28

Так. Открываем первый параграф курса, учебника, что есть. И читаем об операциях и соотношениях между событиями. Без этого жить нельзя. Элементарщину мы обсуждаем, без надежды на успех, уже два часа, а оказывается, что Вы не знаете, что такое противоположные события, и как связаны их вероятности.

Всё, больше ничего не комментирую, сказано уже более чем достаточно, изучайте материал и решайте до конца задачу.

Автор: leya 25.4.2011, 20:33

ну вот у нас есть событие А например то что (кси больше трех)
вероятность того что кси не больше трех будет равна 1- вероятность события А...




P(кси > 2) = 1-F(2)

Автор: malkolm 25.4.2011, 20:37

Теперь решайте, наконец, задачу. Самостоятельно.

Автор: leya 25.4.2011, 20:42

P(кси > 1/x)=1-F(1/x)

F(1/x) =

0,x<=0
C*1/x^3,x от 0 до 5
0,x>5

нет?

а дальше я просто хочу все это вычесть из 1...но видимо опять будет не так....

1,x<=0
1-C*1/x^3,x от 0 до 5
1,x>5

Автор: malkolm 25.4.2011, 21:04

Когда Вы решали неравенство {1/кси < x} как {кси > 1/x}, каким был x? Разве для отрицательного х так будет решаться неравенство?
Значит, х был положительным. С отрицательными х нужно разобраться заранее, и больше их не поминать. А именно:

Для х < 0: Что Вам известно про значения кси, исходя из её функции распределения или плотности? Используя эту информацию, ответьте: если x < 0, какова вероятность события {1/кси < x} для данной конкретной кси?

Для x > 0: Когда соберётесь подставлять 1/х вместо х в функцию распределения, обведите кружочком ВСЕ вхождения х в функцию распределения, и замените их ВСЕ на 1/х. Сейчас пока Вы куда-то подставили 1/х вместо х, а в остальные места - нет.

Автор: leya 26.4.2011, 8:09

ну по логике если мы так ставим условие...то получается что 1\кси должна быть меньше 0...это возможно будет только при отрицательном кси....исходя из моей самой первой задачи...кси очень даже может быть отрицательной...


с другой стороны вероятность это определенный интеграл от плотности...
а плотность отрицательной быть не может(((....
функция распределения...она неубывающая...ее значения от 0 до 1....
про кси мне известно что она непрерывная...случайная величина(...

совсем с другой стороны 1/кси < x то же самое что 1\х<кси


но это все мысли вслух были....и никаких идей...

вот как бы единственная все та же мысль...но она тут уже была...
P(1\х<кси )=1-F(1\x)

F(1/x) =

0,1\x<=0
C*1/x^3, 1\х от 0 до 5
0,1\x>5

Автор: malkolm 26.4.2011, 11:02

Смотрим на свою плотность или функцию распределения и находим, какова P(кси < 0).

При x < 0 ничего в функцию распределения подставлять не нужно, при х < 0 нужно отдельно вычислить P(1/кси < x).

Вы понимаете, что 1/t < -3 решается НЕ как t > 1/(-3) ?

Автор: leya 26.4.2011, 15:18

P(кси < 0)=0...если я правильно поняла вопрос...


по моему не понимаю....и найти где про это подробно написано не могу...потому что это явно какая то мелочь которая итак интуитивно ясная(((

1/t < -3 решается как t>2/3 ?

Автор: malkolm 26.4.2011, 17:46

Ну так если вероятность, с которой кси отрицательна, нулевая, то какова вероятность события {1/кси < x} при x < 0?


t=7 проверяйте.

Автор: leya 26.4.2011, 18:07

для моей задачи...

0, х<0
c/x^2, при x>=1/5
1 при [0 1/5)

Автор: leya 26.4.2011, 18:46

Из неравенства получили равенство?....тут опять математика обычная не работает?(

Автор: malkolm 26.4.2011, 21:15

Что это? Напишите, что за функция равна указанным трём строчкам.



Знаете что, мне надоело! Вы решаете неравенства 1/t < -3, предлагаете в качестве "решения" t > 2/3 (интересно, это КАКАЯ МАТЕМАТИКА?), и не можете даже проверить Ваш ответ подстановкой какого-либо значения из указанного промежутка? Ещё раз: число 7 устраивает Вашему "ответу" t > 2/3. Проверяем,
1) больше ли 7 двух третей - т.е. подходит ли под Ваш ответ.
2) 1/7 меньше -3 или нет, т.е. является ли решением исходного неравенства.
3) делаем выводы, верно ли решено неравенство "1/t < -3" как "t > 2/3".

После этого попробуйте ПРАВИЛЬНО решить неравенство 1/t < -3.