Версия для печати темы

Автор: leya 11.4.2011, 14:58

осталось решить 2 задачи...очень надеюсь на вашу помощь...

продавец берет у поставщика партию 2000 единиц товара
считается что вероятность того что каждая единица товара бракованная независимо
от других = 0.004 если продавец обнаруживает в партии более 3х бракованных деталей
то вся партия возвращается поставщику
определить вероятность что покупатель приобретающий 50 единиц товара получит не более
одной бракованной

два независимых эксперта проводят исследование некоторого процесса по двум независимым
характеристикам
вероятность ошибочной оценки каждой хар-ки у каждого эксперта = 0.4
определить вероятность того что хоть один из экспертов верно определит
все характеристики процесса

в первой задаче я дошла до того что
P(K<=3)=P2000(0)+P2000(1)+P2000(2)+P2000(3) это вероятность того что не отправят обратно поставщику

а как это теперь связать с тем что найти...

*определить вероятность что покупатель приобретающий 50 единиц товара получит не более
одной бракованной*

а во второй задаче есть идея но она явно неправильная а как по другому я не понимаю...

в общем у нас эксперты не зависимые то есть
в итоге вероятность(правильности для первого эксперта)*вероятность(правильности для второго)=нужная нам вероятность

но вероятность правильности первого
состоит тоже из двух независимых событий
вероятность которых = (1-0.4)*(1-0.4)
то есть правильность первого = 0.36
для второго те же рассуждения

и тогда в итоге
0.36*0.36=0.1296...

Автор: malkolm 11.4.2011, 19:26

Да уж, условие даёт возможность для многих толкований того, что именно имел в виду преподаватель )) Будем считать, что фраза "если в партии больше трёх бракованных, то..." означает, что партия, из которой покупатель выбирает 50 штук, заведомо содержит не более трёх бракованных. Т.е. что речь идёт об условной вероятности. Берёте определение условной вероятности, знаменатель Вы уже вычислили (кстати, как будете считать указанные вероятности?), а что за событие в числителе? Его нужно разбить на составляющие - сколько брака среди 50, и среди остальных 1950 изделий.


Конечно, нет. Вы вычисляете вероятность того, что оба эксперта правильно определят все характеристики. А нужно - что хотя бы один. Противоположное событие в чём состоит?

Автор: leya 11.4.2011, 19:29

я третьей перерешала и в итоге вот...

так правильно?)
пусть А хоть один из экспертов верно определил
Аi-i-ый эксперт верно определил все характеристики
Aij-i-ый эксперт правильно определил j -ую характеристику

отсюда получаем
P(Aij)=1-0.4=0.6
P(Ai)=1-0.6^2
P(A)=1-(1-0.6^2)^2

только я сомневаюсь насчет формулировки
Аi-i-ый эксперт верно определил все характеристики
может все таки Аi-i-ый эксперт *не верно* определил все характеристики

Автор: malkolm 11.4.2011, 19:33

Ну так сравните с условием задачи-то.

Автор: leya 11.4.2011, 19:44

ну я это считала через формулу пуассона...

1+e^-8*(-1+8+32+256\3)

а почему нас еще интересует сколько брака в 1950?
вот допустим его можно было бы считать как
P1950(0)+P1950(1)+P1950(2)+P1950(3)
но вероятность для расчета лямбды у нас же уже другая


+у нас по условию нужно чтобы брака в 50 было меньше или равно 1...-здесь разве не нужно опять применять формулу пуассона(

Автор: malkolm 11.4.2011, 19:53

Начните с определения условной вероятности и рассмотрите числитель.

P.S. Я правильно понимаю, что параллельно эта задачка обсуждается ещё на десятке форумов, по принципу хиппи и золотой рыбки? Тогда жители Швеции плюнули и пошли спать.

Автор: leya 11.4.2011, 19:57

ну если сравнивать с условием то
Аi-i-ый эксперт верно определил все характеристики

а если с логикой то тогда
P(Ai)=1-0.6^2 -не может быть вероятностью что i-ый эксперт верно определил все характеристики
ведь это вероятность ошибки....



не на десятке а на 3х форумах...причем именно *обсуждается только на двух...* и она обсуждается именно потому что я не могу найти способ решения...но хочу разобраться

Автор: malkolm 12.4.2011, 2:49

Логично. Значит, A_i не есть событие "i-ый эксперт верно определил все характеристики".

Автор: leya 12.4.2011, 5:51

так...а про первую я спросить хочу...
ведь если использовать условную вероятность то в знаменателе должно быть условие....при котором все это выполняется...то есть как бы то что продавец не отправит товар обратно....

а в числителе совместная вероятность события что брак в 50 либо в 1950

и вот у меня собственно 2 вопроса...

1) когда мы рассчитываем брак для 50 и 1950 у нас разве вероятность та же что и в начале 0.004...или все таки мы берем уже высчитанную вероятность для не более трех бракованных?
2) получается что мы считаем в итоге наше событие при условии не более трех....но ведь нужно при условии не более одного?

Автор: leya 12.4.2011, 15:07

а я могу вычислить для 50 и для 1950 через локальную теорему Лапласа?
n=2000
k=50
p=1+e^-8*(-1+8+32+256\3) -или здесь нужна вероятность что брак не более чем в одной...? или вообще так нельзя считать?

а потом посчитав сложить их друг с другом и это будет общей вероятностью?

Автор: malkolm 13.4.2011, 15:44

Верно.

Неверно. Вы ищете P(A | B ). Пишем, что за события
A=
B=
AB=

И смотрим формулу условной вероятности.


1) Условная вероятность, которая Вам нужна, по определению вычисляется через самые обычные вероятности, безусловные. См. определение, который раз уже прошу.

2) Условие задачи читаем: что известно про результат эксперимента - это и есть условие, при котором вычисляется условная вероятность.

Локальная теорема Лапласа неприменима, когда вероятности успеха такие маленькие.

Автор: leya 13.4.2011, 15:53

n=2000
p=0,004
np=8
р(брак=0)=1/1 * exp(-8)
p(брак=1)=8 * exp(-8)
p(брак=2)=32 * exp(-8)
p(брак=3)=256/3 * exp(-8)
р(А)=p(брак<=3)=(1+8+32+256\3)*exp(-8)=0.042
=============================================================
допустим, партию послали в магазин.
покупатель тянет детали.

2000 --->>> 50:
с(2000 50)= 2*10^100
вероятность появления среди них бракованных:
р(БРАК=0)=1/с(2000 50)=5,01*10^-101
p(БРАК=1)=с(2000 1)/с(2000 50)=10^-97
p(БРАК=2)=с(2000 2)/с(2000 50)=10^-94
p(БРАК=3)=с(2000 3)/с(2000 50)=6.67*10^-92

р(В)=р(среди 50 0 или 1 БРАК)=р(БРАК=0)+р(БРАК=1)=10^-97
р(БРАК0,1,2,3)=р(БРАК=0)*р(брак=0)+...+р(БРАК=3)*р(брак=3)=1,96*10^-92

но поскольку больше 3х браков быть не может, пересчитываем через условную вероятность...:

р(В|А)=р(ВА)/р(А) = р(БРАК0,1,2,3)*р(В)/р(A)= р(БРАК0,1,2,3) =

похоже на правду?

Автор: malkolm 13.4.2011, 16:14

Нет, не похоже. "Покупатель тянет детали" - а сколько среди 2000 бракованных? В этой задаче нет места для комбинаторики. Слишком большие числа.
Итак, жду:
A = ?
B = ?
AB = ?

Автор: leya 13.4.2011, 16:25

A = это наше условие что не более одной бракованных
B = среди 50 деталей не более одной бракованной (1*e^-8+8*e^-8)-через формулу пуассона
AB = умножение этих событий....

Автор: malkolm 13.4.2011, 16:51

"Наше условие" - не такое. Условие задачи читаем и разбираемся, кто там А, кто В, что известно про 2000, что вычислить нужно про 50.

Автор: leya 13.4.2011, 16:57

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

вероятность одного из событий это то что в 2000 деталях не более трех бракованных



совместное появление событий...

вероятность что в 50 не более одной бракованной... я бы умножила это на то что у нас не более трех бракованных среди 1950( но это явно не так...

Автор: malkolm 13.4.2011, 18:18

Нет, конечно - эти события зависимы. Нужно перебрать варианты: сколько бракованных среди 50, сколько среди 1950. И посчитать их вероятности отдельно. А вот тут уже всякий раз пары независимых событий - что-то про 50 и что-то про остальные 1950.

Например,
1) 0 среди 50, 0 среди 1950,
ИЛИ
2) 0 среди 50, 1 среди 1950,
ИЛИ ...
Каждую вероятность - по теореме Пуассона.

Автор: leya 13.4.2011, 18:26

так а там разве не будет

среди 50 деталей не более одной бракованной (1*e^-0.2+0.2*e^-0.2)-через формулу пуассона

ну то есть 0 среди 50 это 1*e^-0.2
1 среди 50 это 0.2*e^-0.2

так теперь среди 1950....

0 среди 1950 = 1*e^-39\5
1 среди 1950 = 39\5*e^-39\5

теперь если я правильно вас поняла я собираю это в 2 пары

1*e^-0.2 * 1*e^-39\5 + 39\5*e^-39\5 *1*e^-0.2 + (нам ведь нужно еще когда в 50 - 1 а в 1950 - 0?) +1*e^-39\5 * 0.2*e^-0.2

Автор: malkolm 13.4.2011, 18:39

Это что - все варианты? Мало.

Автор: leya 13.4.2011, 18:44

почему?...нам же надо чтоб было не больше 1...

ну то есть либо брак в 50 и его нет в 1950
либо он в 1950 и его нет в 50
либо его нет ни там ни там....

или мы считаем в не более трех?....

и тогда
0 0
0 1
1 0
0 2
2 0
0 3
2 1
1 2
3 0

Автор: malkolm 13.4.2011, 19:18

Наконец и мне надоело. Больше не комментирую никакие Ваши идеи, пока Вы не прочтёте условие и я не увижу правильный ответ на уже дважды заданный вопрос:

Мы ищем P(A | B ). Что в этой задаче есть события
А = ?
B = ?
AB = ?

Вместо того, чтобы разобрать условие задачи и ответить на вопрос один раз, Вы зря тратите своё и моё время.

Автор: leya 13.4.2011, 19:21

A=В партии не более трех бракованных деталей!
В=среди 50 деталей не более одной бракованной

совместное я не знаю...

опять нет?

Автор: malkolm 13.4.2011, 19:25

Тогда мы ищем P(B | A), а не наоборот...

Про совместное выше ВСЁ написано, что только можно:

Нужно перебрать варианты: сколько бракованных среди 50, сколько среди 1950. И посчитать их вероятности отдельно. А вот тут уже всякий раз пары независимых событий - что-то про 50 и что-то про остальные 1950.

Автор: leya 13.4.2011, 19:37

совместное это суммы произведений для 50 и для 1950? так ведь....

то есть перебираем до одного....сколько бракованных среди 50...
и сколько среди 1950...до трех
50 1950
0 0
0 1
1 0
1 1
0 2
0 3
1 2

так?

Автор: malkolm 14.4.2011, 12:02

Так. Теперь по теореме Пуассона, как выше считали, вычислите числитель. Знаменатель где-то выше уже дано посчитан.

Автор: leya 14.4.2011, 16:13

уффф (((

только там печально получается

там получается 0.04232 \ 0.04238
и вероятность примерно 0.99...

Автор: malkolm 14.4.2011, 18:37

Ну да, а чего Вы хотели? Подумайте над тем, что за вероятность вычисляется, и Вы поймёте, что она не может быть иной, причём совершенно независимо от изначальной вероятности брака.

Автор: leya 14.4.2011, 20:25

нет...я по логике согласна...
в принципе и не 1....а все таки 0.99....

эх....спасибо вам огромное....)

Автор: malkolm 15.4.2011, 11:47

Да не за что. Тем более (см. первый ответ в этой теме) не факт, что Ваш преподаватель имел в виду то же самое, что мы тут в решении.

Кстати, есть эквивалентный вариант решения (ответ принципиально не отличается), Вы уже решали и этим путём в сообщении http://www.prepody.ru/ipb.html?s=&showtopic=12840&view=findpost&p=73339

Я повторю и поправлю местами: нужно рассмотреть полную группу событий в рамках события "партия не отправлена обратно": брака нет, одна бракованная, две, три. Т.е. мы как бы от старого пространства элементарных исходов переходим к новому, в котором рассматриваются только партии по 2000 деталей, где не больше 3 бракованных. Все формулы (например, полной вероятности) останутся верными, но нужно любые вероятности пересчитывать как условные.

Так, например, вероятности событий в этой группе - это условные вероятности p(брак=0)/p(брак<=3), p(брак=1)/p(брак<=3), p(брак=2)/p(брак<=3), p(брак=3)/p(брак<=3), т.е.
P(H0)=1/1 * exp(-8) / (1+8+32+256\3)*exp(-8)
p(H1)=8 * exp(-8) / (1+8+32+256\3)*exp(-8)
p(H2)=32 * exp(-8) / (1+8+32+256\3)*exp(-8)
p(H3)=256/3 * exp(-8) / (1+8+32+256\3)*exp(-8)

Дальше Вы вычисляли условную вероятность события "среди 50 не больше 1 бракованной" при каждой из гипотез через классическое определение вероятности, только неправильно вычисляли.

Например, если выполнено H2, есть 2 бракованные детали среди 2000, то получить 0 среди 50 можно с вероятностью С(1998; 50)/C(2000; 50), а получить одну бракованную - с вероятностью С(1998; 49)*C(2; 1)/C(2000; 50).

На самом деле тут тоже уместно использовать теорему Пуассона с вероятностью успеха 2/2000 и числом испытаний 50, np=0,05. А при гипотезе H3 - с вероятнстью успеха 3/2000, np = 0,075.

Т.е. вычисляя вероятность иметь не более 1 бракованной, получаем:
P(A | H0)=1
P(A | H1)=1
P(A | H2)=exp(-0,05) + 0,05*exp(-0,05),
P(A | H2)=exp(-0,075) + 0,075*exp(-0,075).

Дальше собираем в сумму
P(A | <=3 брак) = P(A|H0)P(H0)+P(A|H1)P(H1)+P(A|H2)P(H2)+P(A|H3)P(H3) =
1* 1/1 * exp(-8) / (1+8+32+256\3)*exp(-8) +
1 * 8 * exp(-8) / (1+8+32+256\3)*exp(-8) +
(exp(-0,05) + 0,05*exp(-0,05)) * 32 * exp(-8) / (1+8+32+256\3)*exp(-8) +
(exp(-0,05) + 0,05*exp(-0,05)) * 256/3 * exp(-8) / (1+8+32+256\3)*exp(-8).

Ответы отличаются не более, чем в третьем знаке, и только за счёт того, что мы несколько раз пользовались разными приближёнными формулами.