Версия для печати темы

Автор: Strannick 4.2.2011, 13:00

Здравствуйте. У меня такая проблема -
Необходимо определить собственные векторы и значения матрицы:
1 4 3
-8 2 -5
-2 -8 -6
_____________________________
Решение распишу здесь. Давно ничего не решал, поэтому мог подзабыть некоторые аспекты.
| 1-L 4 3 |
|-8 2-L -5 | = 0
|-2 -8 -6-L |

(1-L)(L-2)(6+L)+40+192+6(2-L)-32(6+L)-40(1-L)=0
(1-L)(L*L+4L-12)+40+192+12-6L-192-32L-40(1-L)=0
(L*L+4L-12-L*L*L-4L*L+12L)+12+2L=0
-L*L*L-3L*L+18L=0
L(L*L+3L-18)=0;

Корни:
L1=0;
L2=3;
L3=-6;
_____________________________
Теперь нужно рассчитывать векторы, но у меня не получается решать систему с этими корнями. Вот такая проблема. Прошу совета, решение перепроверил, ошибок не нашел. Заранее спасибо.

Автор: Тролль 4.2.2011, 13:04

Что такое система с этими корнями? Как находятся собственные векторы?

Автор: Strannick 4.2.2011, 14:04

Ну, насколько я помню, теперь для каждого корня нужно решить систему:
к примеру L=3;
система получается из матрицы при подстановке L
-2x1+4x2+3x3=0
-8x1-1x2-5x3=0
-2x1-8x2-9x3=0

x1;x2;x3 - > числа после x - нижние индексы.

А решают её вроде как подстановкой x1=1 и далее "магическим образом" получаются другие корни системы (равные либо 0, либо 1, либо -1). Ну, как я уже говорил, не все аспекты вспомню)
Ну, естественно, ответ по типу 0;1;-1 у меня не получается.

Автор: tig81 4.2.2011, 15:15

далее матрицу системы надо привести к ступенчатому виду.

Автор: Strannick 4.2.2011, 16:05

После нахождения корня L - нужно его подставить в матрицу, затем привести матрицу к трапециевидной/треугольной/ступенчатой форме. Ну a потом найти все X-cы. (Получается без всякой подстановки .. чет я не пойму, нас не правильно учили?) Я правильно понял?

Автор: tig81 4.2.2011, 16:11

да

что получается без подстановки?

Автор: Strannick 4.2.2011, 16:26

Ну я помню, что мы подставляли один из корней системы (x1 к примеру).. ну т.е. брали его равным 1, и находили два остальных O_o. Я еще повожусь с матрицей, предоставлю результаты.

Автор: Strannick 4.2.2011, 17:06

1)Для L=0 после приведения к ступенчатой форме вышла следующая система:
x1+4x2+3x3=0,
34x2+19x3=0.
2)Для L=3 после приведения к ступенчатой форме вышла следующая система:
-2x1-8x2-9x3=0,
x2+x3=0.
3)Для L=-6 после приведения к ступенчатой форме вышла следующая система:
-2x1-8x2=0,
8x2-x3=0.

Т.е. у меня в трех случаях удалось избавится от строчки. Осталось найти x1, x2, x3. Вот только как? Векторы вычислить потом смогу и сам)

Автор: tig81 4.2.2011, 17:16

Это уже после приведения матрицы системы к ступенчатому виду.



Поверем вам на слово, что такая. Теперь из второго уравнения выражайте, например, переменную х2 через х3 (можно и наоборот, не важно). Подставляйте полученное выражение в первое уравнение и выражайте х1 через х3.

Аналогично с 1)

Автор: Strannick 4.2.2011, 17:45

Последнее уточнение: После выражения одно через другое нужно за один из корней брать случайное число и находить два других?

Автор: tig81 4.2.2011, 17:55

Да, т.е. у вас получится следующее:
х1=Ах3,
х2=Вх3,
х3=х3.
Где А. В - некоторые числа.
Тогда х3 придаете произвольное значение, а х2 и х3 находите из выше полученных соотношений.

Автор: Strannick 5.2.2011, 17:53

Ясно, спасибо.

Автор: tig81 5.2.2011, 19:12

Это хорошо, пожалуйста!