Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Алгебра _ Нужна помощь

Автор: Venena 1.2.2011, 13:38

Нужна срочно помощь!
Дана задача, график начертила, а ответ напистаь не могу(


Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает в трёх различных точках график функции, заданный условием:


2x+3, если x<-2
y=0,25x^2-2 ,если -2<x<2
2x-5, если х>2
Пожалуйста!

Автор: Тролль 1.2.2011, 14:49

Покажите свой график.

Автор: Venena 1.2.2011, 15:02

Изображение

Автор: Тролль 1.2.2011, 15:09

Надо рассмотреть три случая: k > 0, k = 0, k < 0.
Если k = 0, то решение одно.
В случаях k > 0 и k < 0 вроде бы возможно по три решения. Осталось найти эти k. Надо ещё подумать.

Надо учитывать, что график проходит через начало координат.

Поэтому при k < 0 будет только один корень.

Рассмотрите теперь случай k > 0, как должна проходить прямая?

Автор: Venena 1.2.2011, 15:22

Я вообще этого не понимаю,график в состоянии начертить, а дальше не знаю.

мне кажется k<-2 там присутствует,но я могу ошибаться

Автор: Тролль 1.2.2011, 15:25

Начертите прямую на графике, проходящую через начало координат, у которой k < 0, и выложите.

Автор: Venena 1.2.2011, 15:34

К сожалению, я не понимаю как это(

Изображение

возможно так

Автор: Тролль 1.2.2011, 15:39

Как ведет себя прямая (убывает, возрастае), если k < 0?
Она также должна проходить через начало координат. Знаете, где оно находится?

Автор: Venena 1.2.2011, 15:44

убывает



Изображение

Автор: Тролль 1.2.2011, 15:48

Изображения нет.

Автор: Тролль 1.2.2011, 15:59

Пф... Что такое убывает?

Автор: Venena 1.2.2011, 16:00

если k<0, то прямая убывает

Автор: Тролль 1.2.2011, 16:11

Да, как выглядит убывающая прямая?

Автор: Venena 1.2.2011, 16:18

она вроде относительно оси ох образует тупой угол...

Автор: Тролль 1.2.2011, 16:19

Да.

Автор: Venena 1.2.2011, 16:20

значит не подходит
должно быть k>0

Автор: Тролль 1.2.2011, 16:34

Начертите график, когда k < 0

Автор: Venena 1.2.2011, 16:44

Изображение

Автор: Тролль 2.2.2011, 8:33

Да, несложно понять, что как бы мы не рисовали, но точка пересечения будет только одна.
Теперь нарисуйте, когда k > 0.
Как должна проходить прямая, чтобы было 3 точки пересечения?

Автор: Venena 2.2.2011, 10:11

Изображение

Автор: Тролль 2.2.2011, 10:30

Теперь осталось понять, какие ограничения на k получатся.
Здесь нужно использовать два соображения:
1) когда прямая y = kx и прямая y = 2x - 5 пересекутся?
(нужно использовать геометрический смысл коэффициента к)
2) когда прямая y = kx проходит ниже точки (-2,-1), что приводит к двум точкам пересечения слева?

Автор: Тролль 2.2.2011, 11:07

Вот алгебраическое решение.
1) x < -2
2x + 3 = kx => (k - 2)x = 3
k =2 => нет решений
x = 3/(k - 2)
3/(k - 2) < -2 => 3/(k - 2) + 2 < 0 => (2k - 1)/(k - 2) < 0
При 1/2 < k < 2 одно решение
При k = 1/2 x = -2
2) k * (-2) < -1 => k > 1/2
k = 1/2 x = -1
3) x > 2
2x - 5 = kx => (k - 2) = -5
k =2 => нет решений
x = -5/(k - 2)
-5/(k - 2) > 2 => -5/(k - 2) - 2 > 0 => (-2k - 1)/(k - 2) > 0 => (2k + 1)/(k - 2) < 0
-1/2 < k < 2
Получаем, что три точки пересечения, если
1/2 < k < 2
Вроде бы так, если ничего не напутал.

Автор: Venena 2.2.2011, 12:38

не все понятно, к сожалению
2) k * (-2) < -1 => k > 1/2
k = 1/2 x = -1

откуда взялось вот это?


и откуда следует,что именно три точки пересечения?

Автор: Тролль 2.2.2011, 13:01

У Вас свое решение, не смотрите внимание на это.
Я написал там, что Вам надо понять.

Автор: Venena 2.2.2011, 13:28

но из чего следует, что три точки пересечения? Из какого решения это вино?

Автор: Тролль 2.2.2011, 13:31

И из геометрического, и из алгебраического.

Автор: Venena 2.2.2011, 13:41

спасибо

Автор: Тролль 2.2.2011, 13:47

Так чего спасибо? Надо дальше решать.
Когда прямая y = kx и y = 2x - 5 пересекаются?

Автор: Venena 2.2.2011, 13:58

х(2-к)=5 так?

Автор: Тролль 2.2.2011, 14:01

Я сейчас про Ваше геометрическое решение. Алгебраическое я привел просто для того, чтобы потом было с чем свериться. Вы знаете геометрический смысл коэффициента k? Что-нибудь про угол наклона прямой знаете?

Автор: Venena 2.2.2011, 14:05

угол должен быть острый.

Автор: Тролль 2.2.2011, 14:13

Ну это да, так как k > 0. А как должны располагаться прямые y = kx и y = 2x - 5, чтобы пересечься? Какая прямая должна быть более наклонена к оси Ох?

Автор: Venena 2.2.2011, 14:18

у=кх

Автор: Тролль 2.2.2011, 14:20

Если прямая y = kx наклонена больше, то что мы можем сказать про углы наклона и про угловые коэффициенты?

Автор: Venena 2.2.2011, 14:22

честно, не знаю

Автор: Тролль 2.2.2011, 14:30

Что такое угол наклона?

Автор: Venena 2.2.2011, 14:35

хм...угол
но мне неважно геометрическое решение
мне нужно алгебраическое

Автор: Тролль 2.2.2011, 14:40

А зачем тогда Вы начали геометрически решать?

Автор: Venena 2.2.2011, 14:43

по заданию начертить график, а потом дать ответ на вопрос.
Я думаю, что алгебраически
мне хотелось бы получить внятный ответ, как решать подобные задания. Куда и что подставлять

Автор: Тролль 2.2.2011, 14:49

Если график, то это геометрическое решение.
Вот я и подвожу потихоньку к внятному ответу.
Прямая y = kx наклонена к оси Ох больше, чем y = 2x - 5.
Угол наклона - угол между прямой и положительным направлением оси Ох.
Так как y = kx наклонена больше, то угол наклона меньше.
Если alpha - угол наклона, то k = tg alpha.
Тангенс на участке от 0 до pi/2 возрастает, следовательно, для меньшего угла наклона получим меньший тангенс, следовательно, меньший коэффициент k.
Значит, k должно быть меньше, чем k у прямой y = 2x - 5, которое равно 2.
Получаем, что k < 2.

Автор: Venena 2.2.2011, 14:51

мы через tg не решаем, такого еще не проходили.
хотелось бы объяснение больше похожее на алгебраическое
хотелось бы знать что и к чему

Автор: Тролль 2.2.2011, 14:56

Тогда не понятно, зачем строить график. Смотрите тогда алгебраическое решение, которое я написал и задавайте вопросы.

Автор: Venena 2.2.2011, 14:59

Вот алгебраическое решение.
1) x < -2
2x + 3 = kx => (k - 2)x = 3
k =2 => нет решений
x = 3/(k - 2)
3/(k - 2) < -2 => 3/(k - 2) + 2 < 0 => (2k - 1)/(k - 2) < 0
При 1/2 < k < 2 одно решение
При k = 1/2 x = -2 ??????
2) k * (-2) < -1 => k > 1/2 ?????
k = 1/2 x = -1
3) x > 2
2x - 5 = kx => (k - 2) = -5
k =2 => нет решений
x = -5/(k - 2)
-5/(k - 2) > 2 => -5/(k - 2) - 2 > 0 => (-2k - 1)/(k - 2) > 0 => (2k + 1)/(k - 2) < 0
-1/2 < k < 2
Получаем, что три точки пересечения, если ???????
1/2 < k < 2 ???????

















Автор: Тролль 2.2.2011, 15:01

Какие конкретно вопросы? Я не могу по знакам вопросов понять, что непонятно.

Автор: Venena 2.2.2011, 15:04

При k = 1/2 x = -2
откуда взялось и что означает?


2 пункт не понятен вообще


почему именно 3 точки? на каких основаниях сделан вывод?

Автор: Тролль 2.2.2011, 15:15

1) Находим k, при которых x = -2.
2) Находим точки пересечения прямой y = kx и f(x) = 0.25x^2 - 2.
Если k > 0, то точка пересечения возможна только при x < 0.
Чтобы она находилась справа от -2 нужно, чтобы y(-2) <= -1
Посмотрите по графику - почему именно так?
А для k < 0 получаем, что y(2) <= -1.

Автор: Venena 2.2.2011, 15:22

ясно
а на каком основании сделан вывод?

Автор: Тролль 2.2.2011, 15:29

Находим те k, чтобы и в 1), и во 2), и в 3) случае было по одной точке пересечения.

Автор: Venena 2.2.2011, 15:32

мне кажется, что 2 пункт не полностью...
а почему выбран ответ с 1 пункта?

Автор: Тролль 2.2.2011, 15:38

Не стал расписывать 2 пункт целиком. Из 1 пункта следует, что k > 0, поэтому был рассмотрен только случай k > 0.
Мы выбираем те k, при которых во всех 3 пунктах есть точки пересечения.

Автор: Venena 2.2.2011, 15:41

не поняла последнее предложение...почему ответ таков

Автор: Тролль 2.2.2011, 15:48

При каких k точки пересечения будут во всех 3 пунктах?

Геометрическое решение было бы еще проше. Получили бы сразу, что k < 2 и k * (-2) < -1.
Отсюда и получили бы ответ 1/2 < k < 2

Автор: Venena 2.2.2011, 15:52

все равно не поняла, почему именно 1/2<к<2

Автор: Тролль 2.2.2011, 15:54

При каких k будет точка пересечения в 1, 2 и 3 пунктах? Напишите.

Автор: Venena 2.2.2011, 15:58

1/2 , 2?

Автор: Тролль 2.2.2011, 16:00

Для 1 пункта какие k получили?
Какие k для 2 пункта?
Какие для 3 пункта?

Автор: Venena 2.2.2011, 16:03

1)1/2
2)1/2
3)1/2

Автор: Тролль 2.2.2011, 16:04

Да, тяжелый случай. Смотрите решение и разбирайтесь в нем до тех пор, пока его не поймете. Будут вопросы - задавайте.

Автор: Venena 2.2.2011, 16:06

тяжёлый, согласна.


1) x < -2
2x + 3 = kx => (k - 2)x = 3
k =2 => нет решений


откуда взялась 2?

Автор: Тролль 2.2.2011, 16:07

Как из (k - 2)x = 3 выразить х?

Автор: Venena 2.2.2011, 16:07

поняла откуда 2

Автор: Тролль 2.2.2011, 16:08

Смотрите дальше тогда.

Автор: Venena 2.2.2011, 16:15

1) 1/2, 2

Автор: Venena 2.2.2011, 16:29

2) -1/2 , 1/2

3) -1/2, 2

Автор: Тролль 2.2.2011, 17:06

Что это такое? Что за точки?

Автор: Venena 2.2.2011, 17:13

это k

Автор: Тролль 2.2.2011, 17:18

Должны быть интервалы, а не точки.

Автор: Venena 2.2.2011, 17:27

1) (1/2 ; 2)
2) -1/2 ; 1/2
3) (-1/2 ; 2)

аааа...я поняла

я поняла, почему 1/2<k<2

Автор: Тролль 2.2.2011, 17:34

Хорошо.
Только во 2 пункте должно быть k > 1/2.

Автор: Venena 2.2.2011, 17:37

спасибо вам)


а если нужна одна точка пересечения?
что надо делать?

Автор: Тролль 2.2.2011, 17:38

Нужно выбрать те k, чтобы в 2 пунктах не было точек, в в третьем была.

Автор: Venena 2.2.2011, 17:41

у меня есть еще одно задание, похожее на это, но там одна точка нужна.
не поможете?

Автор: Тролль 2.2.2011, 17:45

Попробую.

Автор: Venena 2.2.2011, 17:52

Изображение

Я так понимаю, что надо начать с того, что и в том задании
также решить?

Автор: Тролль 2.2.2011, 18:02

Да.

Автор: Venena 2.2.2011, 18:28

1) ( -1/4 ; -1)
3) (1/4 ; 1)

а что дальше?

Автор: Тролль 2.2.2011, 18:33

Напишите подробное решение.

Автор: Venena 2.2.2011, 18:36

1)-х-3=ах
х=3/-а-1
-4а-1/-а-1<0


3) х-3=ах
х=3/1-а
4а/1-а>0

Автор: Тролль 2.2.2011, 18:39

1) Всегда ли можно делить на -а-1 ?

Автор: Venena 2.2.2011, 18:42

а не должно быть -1

Автор: Тролль 2.2.2011, 18:44

Да, поэтому надо рассмотреть два случая.

Автор: Venena 2.2.2011, 18:55

хм,не поняла
просто написать,что а неравно -1

Автор: Тролль 2.2.2011, 18:56

Рассмотреть случаи a = -1 и a <> -1

Автор: Venena 2.2.2011, 19:01

не понимаю

Автор: Тролль 2.2.2011, 19:02

Цитата(Venena @ 2.2.2011, 21:36) *

1)-х-3=ах
Просто так нельзя перейти к строке ниже
х=3/-а-1
-4а-1/-а-1<0
3) х-3=ах
х=3/1-а
4а/1-а>0


Автор: Venena 2.2.2011, 19:05

а что там должно быть?

Автор: Тролль 2.2.2011, 19:06

1 случай: а = -1, тогда ...
2 случай: а <> -1

Автор: Venena 2.2.2011, 19:10

не знаю

Автор: Тролль 2.2.2011, 19:14

Подставлять в уравнение умеете?

Автор: Venena 2.2.2011, 19:15

да.
а что нужно подставить?

Автор: Тролль 2.2.2011, 19:19

а = -1

Автор: Venena 2.2.2011, 19:20

тогда нет решений

Автор: Тролль 2.2.2011, 19:24

Да, теперь случай a <> -1

Автор: Venena 2.2.2011, 19:25

с этим не понимаю

Автор: Тролль 2.2.2011, 19:25

Что непонятного?

Автор: Venena 2.2.2011, 19:28

что к чему
напишите

Автор: Тролль 2.2.2011, 19:41

Вы уже всё написали.

Автор: Venena 2.2.2011, 19:45

значит дальше все то,что я написала?
а после этого?

Автор: Тролль 2.2.2011, 19:46

После 3/(-a-1) какое неравенство на х должно быть?

Автор: Venena 2.2.2011, 19:49

х<-4

Автор: Тролль 2.2.2011, 19:55

1. При каких а есть точка пересечения, а при каких нет?

Автор: Venena 2.2.2011, 20:19

( -1/4 ; -1)

Автор: Тролль 2.2.2011, 20:24

1. Только не (-1/4;-1), а (-1;-1/4).
В остальных случаях точек пересечения нет
2. Теперь аналогично второй случай и третий

Автор: Venena 2.2.2011, 20:29

2) -1/4;0
3)(1/4;1)

Автор: Тролль 2.2.2011, 20:36

2. У меня получилось (-00;-1/4] и [1/4;+00)

Автор: Venena 2.2.2011, 20:40

во2пункте я ошиблась,т.к не совсем понимаю, как решать ,где с двойными ( -4<х<4)
А дальше что?

Автор: Тролль 2.2.2011, 20:41

Нужно решить неравенство x >= -4 и x <= 4, а потом найти те а, при которых выполняются оба неравенства.

Автор: Venena 2.2.2011, 20:43

ясно
После этого, как найти одну точку?

Автор: Тролль 2.2.2011, 20:46

3 правильно.

Получаем, что точки пересечения будут для следующих а:
1) (-1;-1/4)
2) (-00;-1/4] и [1/4;+00)
3) (1/4;1)
Теперь можно нарисовать интервалы на оси Ох и написать, где сколько корней будет.
Например:
(-00;-1] получаем, что будет только одна точка пересечения
Только не уверен пока.
Можете график нарисовать?

Автор: Venena 2.2.2011, 20:48

да,сейчас

Автор: Тролль 2.2.2011, 20:53

Хорошо. Просто геометрически проще решить.

Автор: Venena 2.2.2011, 20:57

Изображение

Автор: Тролль 2.2.2011, 21:04

Цитата(Тролль @ 2.2.2011, 23:46) *

3 правильно.

Получаем, что точки пересечения будут для следующих а:
1) (-1;-1/4)
2) (-00;-1/4] и [1/4;+00)
3) (1/4;1)
Теперь можно нарисовать интервалы на оси Ох и написать, где сколько корней будет.
Например:
(-00;-1] получаем, что будет только одна точка пересечения
Только не уверен пока.
Можете график нарисовать?


Рассмотрите случаи:
(-00;-1]
(-1;-1/4)
-1/4
(-1/4;1/4)
1/4
(1/4;1)
[1;+00)
Посмотрите, сколько где будет точек пересечения, исходя из проведенного исследования.

Автор: Venena 2.2.2011, 21:11

по идее а=1/4
а=-1/4

Автор: Тролль 2.2.2011, 21:14

И всё?

Автор: Venena 2.2.2011, 21:16

не всё, но больше не знаю

Автор: Тролль 2.2.2011, 21:26

Напишите, сколько точек пересечения будет в каждом из случаев.

Автор: Venena 2.2.2011, 21:28

я не знаю, как их найти.
Можно как-нибудь уже ближе к этой одной точке подойти?

Автор: Тролль 2.2.2011, 21:29

Да уже подошли, осталось последний шаг сообразить.

Цитата(Тролль @ 3.2.2011, 0:04) *

Рассмотрите случаи:
(-00;-1]
(-1;-1/4)
-1/4
(-1/4;1/4)
1/4
(1/4;1)
[1;+00)
Посмотрите, сколько где будет точек пересечения, исходя из проведенного исследования.


Автор: Venena 2.2.2011, 21:31

к сожалению, я не знаю, как их рассмотреть

Автор: Тролль 2.2.2011, 21:34

Точки пересечения будут для следующих а:
1) (-1;-1/4)
2) (-00;-1/4] и [1/4;+00)
3) (1/4;1)
Например рассмотрим участок (-00;-1]
В 1 и 3 пунктах точек пересечения нет
А во 2 пункте есть.
Получаем, что будет только одна точка пересечения.
Значит этот случай нам подходит. Дальше справитесь?

Автор: Venena 2.2.2011, 21:46

1. Со2
2. С 1,2
3. С 1.2.3
4. -
5. С1,2
6. С2,3
7. С 1

3. С 1,2
5. С 2,3

Автор: Тролль 2.2.2011, 21:47

3, 5 и 7 неправильно

Автор: Venena 2.2.2011, 21:48

7. С 2

Автор: Тролль 2.2.2011, 21:49

Осталось 3 и 5 исправить.

Автор: Venena 2.2.2011, 21:50

выше, я сама сразу же исправила

Автор: Тролль 2.2.2011, 21:51

Я имел в виду исправить на правильный ответ.

Автор: Venena 2.2.2011, 21:53

там исправлено.
3. С 1,2
5. С 2,3

Автор: Тролль 2.2.2011, 21:55

Исправлено, но на неправильный вариант, а надо на правильный.

Автор: Venena 2.2.2011, 21:58

3. С 1,2
5. С 2,3
Других вариантов нет

Автор: Тролль 2.2.2011, 21:59

Не правильно.

Автор: Venena 2.2.2011, 22:00

значит нет точек

Автор: Тролль 2.2.2011, 22:02

1/4 принадлежит интервалу (-1;-1/4)?

Автор: Venena 2.2.2011, 22:02

нет

Автор: Тролль 2.2.2011, 22:04

А (-00;-1/4] и [1/4;+00)?

Автор: Venena 2.2.2011, 22:04

да

Автор: Тролль 2.2.2011, 22:05

А (1/4;1)?

Автор: Venena 2.2.2011, 22:05

3. Со2
5. Со 2

Автор: Тролль 2.2.2011, 22:06

Ну вот, наконец-то правильно.

Осталось выписать ответ.

Автор: Venena 2.2.2011, 22:09

нет

хм...и как это сделать?

а=-1/4
а=1/4
а>1
а<-1

Автор: Тролль 2.2.2011, 22:16

Только a >= 1 и a <= -1, остальное верно

Автор: Venena 2.2.2011, 22:18

а если без этих случаев рассматривать?
И вообще откуда их взять?

Автор: Тролль 2.2.2011, 22:18

Если без этих случаев, то и решения не получится.
Либо решать геометрически.
Они берутся из трех рассмотренных случаев.

Автор: Venena 2.2.2011, 22:21

спасибо большое.
А геометрически по графику смотреть?
Как это должно выглядеть?

Автор: Тролль 2.2.2011, 22:22

Также, как и в предыдущем примере.

Автор: Venena 2.2.2011, 22:25

через тангенс?

Автор: Тролль 2.2.2011, 22:27

Не через тангенс, а через геометрический смысл коэффициента k.

Автор: Venena 2.2.2011, 22:29

а геометрический смысл к это что? Можно поподробнее

Автор: Тролль 2.2.2011, 22:30

это тангенс угла наклона прямой

Автор: Venena 3.2.2011, 16:07

ага, ясно.

Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)