Помогите, пожалуйста, вычислить объем тела, ограниченного следующими поверхностями:
z = (y - 1)^2, y = x^2, z = 0.
z = (y - 1)^2, y = x^2, z = 0.
Получаем, что z меняется от 0 до (y - 1)^2.
Найдем пределы интегрирования по х и у.
Найдем проекцию указанной фигуры на плоскость xOy (z = 0).
Получаем уравнения:
(y - 1)^2 = 0, y = x^2.
y = 1, y = x^2
Найдем точки пересечения этих двух функций:
y = 1, y = x^2 => 1 = x^2 => x = 1 или x = -1.
Следовательно, х меняется от -1 до 1, у меняется от x^2 до 1.
Значит
V = int (-1 1) dx int (x^2 1) dy int (0 (y - 1)^2) dz =
= int (-1 1) dx int (x^2 1) dy (z)_{0}^{(y - 1)^2} =
= int (-1 1) dx int (x^2 1) (y - 1)^2 dy =
= int (-1 1) dx (1/3 * (y - 1)^3)_{x^2 1} =
= int (-1 1) dx (1/3 * (1 - 1)^3 - 1/3 * (x^2 - 1)^3) =
= int (-1 1) (-1/3 * (x^2 - 1)^3) dx = -1/3 * int (-1 1) (x^6 - 3 * x^4 + 3 * x^2 - 1) dx =
= -1/3 * (1/7 * x^7 - 3 * 1/5 * x^5 + 3 * 1/3 * x^3 - x)_{-1}^{1} =
= -1/3 * (1/7 * x^7 - 3/5 * x^5 + x^3 - x)_{-1}^{1} =
= -1/3 * ((1/7 * 1^7 - 3/5 * 1^5 + 1^3 - 1) -
- (1/7 * (-1)^7 - 3/5 * (-1)^5 + (-1)^3 - (-1)) =
= -1/3 * (1/7 - 3/5 + 1 - 1 + 1/7 - 3/5 + 1 - 1) = -1/3 * (2/7 - 6/5) =
= -1/3 * (10/35 - 42/35) = -1/3 * (-32/35) = 32/105
Ответ: V = 32/105.
Спасибо!!!
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)