Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Ряды _ Исследовать ряд на сходимость, найти радиус и интервал сходимости
Автор: Резеда 16.1.2011, 21:11
Помогите плиз...
Исследовать ряд на сходимость:
(00 ; n=1) (4^n * n) / (n+2)!
Используя признак Даламбера
аn = (4^n * n) / (n+2)!
a (n+1) = [4^(n+1) * (n+1)] / (n+3)!....
найти радиус и интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала
(00 ; n=1) (x - 4)^n / (n^4 * 2^n)
Используя признак Даламбера
аn = (x - 4)^n / (n^4 * 2^n)
a (n+1) = [(x - 4)^n+1 / (n+1)^4 * 2^n+1) = (x-4) * [(x-4)^n / (n^4 + 4n + 4) * 2^(n+1))]
a (n+1) / an = (x-4) * [(x-4)^n / (n^4 + 4n + 4) * 2^(n+1))] поделить на (x - 4)^n / (n^4 * 2^n) =
= (x-4) * [n^4 / (2*(n^4 + 4n +4))]
lim n -> 00 / (a (n+1)) / an = /x-4/ ...
Автор: Тролль 16.1.2011, 21:17
1. Осталось применить признак Даламбера.
2. Есть формула для радиуса сходимости степенного ряда.
Автор: Резеда 16.1.2011, 21:20
1. Осталось применить признак Даламбера.
2. Есть формула для радиуса сходимости степенного ряда.
спасибо.. подскажите??? а то я по примеру смотрю, и не пойму...
Автор: Тролль 16.1.2011, 21:22
http://www.math24.ru/power-series.html
Автор: Резеда 17.1.2011, 19:13
http://www.math24.ru/power-series.html
продолжение 2 задания
lim n -> 00 / (a (n+1)) / an = /x-4/ < 0 -> -1< (x-4) < 1 3 < x < 5
исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости
1. при х=3 имеем законочеред ряд (+00;n=1) [(-1)^n] / (n^4 * 2^n)
2. при х=5 имеем законочеред. ряд (+00;n=1) [(1)^n] / (n^4 * 2^n)....
Автор: Тролль 17.1.2011, 19:23
А первое задание?
Второе неправильно. Чему равно a_n и a_{n+1}?
Автор: Резеда 17.1.2011, 19:36
А первое задание?
Второе неправильно. Чему равно a_n и a_{n+1}?
А первое я незнаю как дальше решать.. (((
аn = (x - 4)^n / (n^4 * 2^n)
a (n+1) = [(x - 4)^n+1 / (n+1)^4 * 2^n+1) = (x-4) * [(x-4)^n / (n^4 + 4n + 4) * 2^(n+1))]
Автор: Тролль 17.1.2011, 19:39
1. Признак Даламбера смотрели?
2. an и a (n+1) берутся без x. (n + 1)^4 неправильно раскрыли, да и делать этого не надо.
Автор: Резеда 17.1.2011, 19:49
1. Признак Даламбера смотрели?
2. an и a (n+1) берутся без x. (n + 1)^4 неправильно раскрыли, да и делать этого не надо.
1. смотрела ... lim n->00 [ 4^(n+1) * (n+1) * (n+2)!] / [(n+3)! * 4^n *n] =...
2. an = [(-3)^n] / (n^4 * 2^n)
a(n+1) = -3 * [ -3^n / ((n+1)^4 * 2^(n+1)
a(n+1) / an = -3 * (n^4 / (2 * (n+1)^4))
Автор: Тролль 17.1.2011, 19:53
1. Так примените.
2. Откуда (-3)^n появилось??
Автор: Резеда 17.1.2011, 20:05
1. Так примените.
2. Откуда (-3)^n появилось??
х разве не за единицу нужно брать?
я там первое задание поправила в прошлом сообщении, думала пока никто еще его не смотрел...
х разве не за единицу нужно брать?
я там первое задание поправила в прошлом сообщении, думала пока никто еще его не смотрел...
если не за ед., то получается
a(n+1) / an = -4 * [ n^4 / 2*(n+1)^4]
Автор: Тролль 17.1.2011, 20:08
Я же кинул ссылку. Там разве заменяется на единицу?
аn = 1/ (n^4 * 2^n)
1. Ну да, теперь предел находим.
Автор: Резеда 17.1.2011, 20:19
Я же кинул ссылку. Там разве заменяется на единицу?
аn = 1/ (n^4 * 2^n)
1. Ну да, теперь предел находим.
R= lim n-> 00 [an / a(n+1)] = lim [2 * (n+1)^4] / n^4
Автор: Тролль 17.1.2011, 20:22
И в первом номере, и во втором находим дальше предел.
Автор: Резеда 17.1.2011, 20:41
И в первом номере, и во втором находим дальше предел.
1. lim n->00 [ 4^(n+1) * (n+1) * (n+2)!] / [(n+3)! * 4^n *n] = lim n->00 [4 * ((n+1) * (n+2)!) / (n+3)! * 4) а потом предел, вот только незнаю как его посчитать..
"!" в числители и "!" в знаменателе сокращаются? потом как дробь?
2. предел = (-8) * [(n+1)^3 / n^5]
Автор: Тролль 17.1.2011, 20:43
1. Что получится при сокращении 4^(n + 1) и 4^n ?
Что такое ! ? Распишите (n + 2)! и (n + 3)! по определению.
2. R= lim n-> 00 [an / a(n+1)] = lim [2 * (n+1)^4] / n^4
Откуда получилось -8?
Какую формулу можно применить, если есть выражение a^n/b^n?
Автор: Резеда 17.1.2011, 20:53
1. Что получится при сокращении 4^(n + 1) и 4^n ?
Что такое ! ? Распишите (n + 2)! и (n + 3)! по определению.
2. R= lim n-> 00 [an / a(n+1)] = lim [2 * (n+1)^4] / n^4
Откуда получилось -8?
Какую формулу можно применить, если есть выражение a^n/b^n?
1. при сокращении получится 4 в числителе
(n+2)! = n! * (n+2)
(n+3)! = n! * (n+3)
2. a^n/b^n степень можно сократить?
2 * [-4n^3 * (n+1)^3) / n^8] = -8 * [(n+1)^3 / n^5]
Автор: Тролль 17.1.2011, 20:58
1. Да, 4. Какое определение у ! ?
2. Нет! 3^4/5^4 - что можно сделать?
Остальное все неверно абсолютно.
Автор: Резеда 17.1.2011, 21:03
1. Да, 4. Какое определение у ! ?
2. Нет! 3^4/5^4 - что можно сделать?
Остальное все неверно абсолютно.
1. ! - поктариал - произведение натур чисел, начиная с ед.
2. (3/5)^4
Автор: Тролль 17.1.2011, 21:05
1. Тогда чему равно (n + 2)! и (n + 3)! и что останется после сокращения?
2. Да, примените это в Вашем случае.
аn = 1/ (n^4 * 2^n)
a (n+1) = 1/(n+1)^4 * 2^n+1)
Не поктариал, а факториал!!
Автор: Резеда 17.1.2011, 21:16
1. Тогда чему равно (n + 2)! и (n + 3)! и что останется после сокращения?
2. Да, примените это в Вашем случае.
аn = 1/ (n^4 * 2^n)
a (n+1) = 1/(n+1)^4 * 2^n+1)
Не поктариал, а факториал!!
1. (n+2)! = n! * (n+2) в числителе
(n+3)! = n! * (n+3) в знаменат n! сократятся и останется дробь 4 * [((n+1) * (n+2)) / n*(n+3)] а потом перемножить числит и знаменат, рассчитать предел от дроби...
2. 2 lim [ (n+1) / n]^4 = 2 * 4 * [(n+1) / n)^3] = 8* [(n+1) / n)^3]
Автор: Тролль 17.1.2011, 21:18
1. 6! = 4! * 6 ????
2. Откуда 4 появилось впереди?
Автор: Резеда 17.1.2011, 21:31
[quote name='Резеда' date='18.1.2011, 2:16' post='69235']
2. 2 lim [ (n+1) / n]^4 = умножим на сопряженное с другим знаком
= 2 * [(n+1) * (n-1)] / (n * (n-1)) = 2 * [(n^2 + n - n -1) / (n^2 -n)] = 2 * [(n - n^-1) / (n-1)]^4
Автор: Тролль 17.1.2011, 21:51
1. Исправляйте, исходя из определения факториала.
2. Ох.. Такое ощущение, что первоклассник задачи решает.
(n + 1)/n = 1 + 1/n
1 + 1/n -> 1 => (1 + 1/n)^4 -> 1^4 = 1.
Следовательно, R = 2.
Автор: Резеда 19.1.2011, 5:26
1. Исправляйте, исходя из определения факториала.
2. Ох.. Такое ощущение, что первоклассник задачи решает.
(n + 1)/n = 1 + 1/n
1 + 1/n -> 1 => (1 + 1/n)^4 -> 1^4 = 1.
Следовательно, R = 2.
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ДОРЕШАТЬ...
http://s013.radikal.ru/i322/1101/ec/f8a983ff716c.jpg
http://i005.radikal.ru/1101/46/d5a3425ad597.jpg
помогите пожалуйста...
Автор: Тролль 19.1.2011, 7:56
9. Признак Даламбера берется без модуля.
Делим n + 1 на n. Сокращаем (n + 2)! и (n + 3)!
10. Ряд сходится не при x (-2;2), а при х: -2 < |x - 4| < 2.
Автор: Резеда 19.1.2011, 8:35
9. Признак Даламбера берется без модуля.
Делим n + 1 на n. Сокращаем (n + 2)! и (n + 3)!
10. Ряд сходится не при x (-2;2), а при х: -2 < |x - 4| < 2.
9. модуль убрала, получилось 4(n+1) / n = 4
10. посмотрите пожалуйста...
http://s003.radikal.ru/i203/1101/6c/e23decd6dc27.jpg
подскажите...
Автор: Тролль 19.1.2011, 8:41
9. Как сократилось (n + 2)! и (n + 3)! ?
10. (2 - 4)^n = (-2)^n
Почему ряд сходится?
Автор: Резеда 19.1.2011, 9:04
9. Как сократилось (n + 2)! и (n + 3)! ?
10. (2 - 4)^n = (-2)^n
Почему ряд сходится?
9. голова кругом...
Будьте добры, подскажите пожалуйста...
10. при х=2 ряд не сходится
при x=6 ряд сходится
так???
пожалуйста..
Автор: Тролль 19.1.2011, 9:06
9. Я же сказал - распишите по определению факториала.
10. Нет, сходится при x = 2 и x = 6. Надо объснить - на основании чего.
Автор: Резеда 19.1.2011, 9:23
9. Я же сказал - распишите по определению факториала.
10. Нет, сходится при x = 2 и x = 6. Надо объснить - на основании чего.
9. http://i037.radikal.ru/1101/42/b8c9a3f49ce2.jpg
Автор: Тролль 19.1.2011, 9:29
Да, теперь правильно. Осталось найти предел.
Автор: Резеда 19.1.2011, 17:53
Да, теперь правильно. Осталось найти предел.
9. предел равен 0
Автор: Тролль 19.1.2011, 17:57
Да, значит как ведет себя ряд?
Автор: Резеда 19.1.2011, 18:05
Да, значит как ведет себя ряд?
абсолютно сходится, т.к. меньше 1
Автор: Тролль 19.1.2011, 18:06
Да, правильно.
Автор: Резеда 19.1.2011, 18:08
Да, правильно.
спасибо большое...
а надо расписывать, что если lim n->+00 a(n+1) / an <1 абсолютно сходится?
Автор: Тролль 19.1.2011, 18:10
В данном случае не идет речь об абсолютной сходимости, потому что ряд положителен. Просто надо написать lim a(n+1)/a n = 0 < 1 => ряд сходится
Автор: Резеда 19.1.2011, 18:12
9. Я же сказал - распишите по определению факториала.
10. Нет, сходится при x = 2 и x = 6. Надо объснить - на основании чего.
10. сходится при x = 2 и x = 6 т.к. меньше или равен 1 ???
Автор: Тролль 19.1.2011, 18:13
Кто меньше или равен 1?
Автор: Резеда 19.1.2011, 18:29
Кто меньше или равен 1?
10. сумма геометрической прогрессии, находится в пределах интервала сходимости (-2;2)
Автор: Тролль 19.1.2011, 18:38
Там не геометрическая прогрессия, а ряды 1/n^4 и (-1)^n/n^4.
Автор: Резеда 19.1.2011, 18:41
Там не геометрическая прогрессия, а ряды 1/n^4 и (-1)^n/n^4.
ряды 1/n^4 и (-1)^n/n^4 находятся в пределах интервала сходимости??? так???
Автор: Тролль 19.1.2011, 18:45
Нет.
Автор: Резеда 19.1.2011, 19:02
Нет.
((( подскажите пожалуйста.. а то везде смотрю и ничего не пойму...
т. х=2 знакоочеред ряд предел от (1/n^4) = 0 следовательно ряд сходится
т. х=6 по признаку сравнения ...
Автор: Тролль 19.1.2011, 19:10
Как ведет себя ряд 1/n^k при k > 1 и при k <= 1.
Автор: Резеда 19.1.2011, 19:19
Как ведет себя ряд 1/n^k при k > 1 и при k <= 1.
сходится???
Автор: Тролль 19.1.2011, 19:24
При каких k сходится, а при каких расходится?
Автор: Резеда 19.1.2011, 19:32
Как ведет себя ряд 1/n^k при k > 1 и при k <= 1.
при k<=1 сходится
при k>1 расходится
Автор: Тролль 19.1.2011, 19:33
Теорию попробуйте хоть раз почитать.
Автор: Резеда 19.1.2011, 19:36
Теорию попробуйте хоть раз почитать.
пробовала, не пойму... подскажите пожалуйста...
Автор: Тролль 19.1.2011, 19:42
Что Вы знаете про гармонический ряд? Что по поводу него говорит теория?
Автор: Резеда 19.1.2011, 19:50
Что Вы знаете про гармонический ряд? Что по поводу него говорит теория?
гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда
Знакопеременный ряд
В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью
Автор: Тролль 19.1.2011, 19:53
Гармонический ряд сходится или расходится?
Автор: Резеда 19.1.2011, 19:56
Гармонический ряд сходится или расходится?
Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1
Автор: Тролль 19.1.2011, 20:00
Ну) Значит что можно сказать про ряд 1/n^4?
Автор: Резеда 19.1.2011, 20:01
Ну) Значит что можно сказать про ряд 1/n^4?
в т. х=2 расходится, в т. х=6 сходится
Автор: Тролль 19.1.2011, 20:07
Что можно сказать про ряд 1/n^4?
Автор: Резеда 19.1.2011, 20:09
Что можно сказать про ряд 1/n^4?
сходится
Автор: Тролль 19.1.2011, 20:16
Значит при х = 6 сходится.
Теперь при х = 2 получаем ряд (-1)^n/n^4.
Исследуем его на абсолютную сходимость.
Автор: Резеда 19.1.2011, 20:27
Значит при х = 6 сходится.
Теперь при х = 2 получаем ряд (-1)^n/n^4.
Исследуем его на абсолютную сходимость.
>1 сходится
Автор: Тролль 19.1.2011, 21:02
Да, 1/n^4 сходится, потому что 4 > 1
А теперь ряд (-1)^n/n^4
Автор: Резеда 20.1.2011, 5:28
Да, 1/n^4 сходится, потому что 4 > 1
А теперь ряд (-1)^n/n^4
ряд (-1)^n/n^4 тоже сходится но условно, т.к знак "-"
посмотрите пожалуйста...
9. http://s010.radikal.ru/i313/1101/82/d2e0d9b246a6.jpg
10. http://s013.radikal.ru/i322/1101/6f/621dd00be0a3.jpg
Автор: Тролль 20.1.2011, 8:10
Там не ряд -1/n^4, а (-1)^n/n^4. Ряд сходится абсолютно.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)